推理题是高考数学考察的重点内容，以下是合情推理与演绎推理考点专项练习，请考生练习。
1.用演绎法证明函数f(x)=x3是增函数时的小前提是()
A.增函数的定义
B.函数f(x)=x3满足增函数的定义
C.若x1f(x2)
2.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是()
A.使用了归纳推理
B.使用了类比推理
C.使用了“三段论”,但推理形式错误
D.使用了“三段论”,但小前提错误
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-,满足Sn++2=an(n≥2),则S2 015=()
A.- B.- C.- D.-
4.下面几种推理是合情推理的是()
①由圆的性质类比出球的有关性质;
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;
③某次考试张军成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100分;
④三角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°,五边形的内角和是540°,由此得出凸多边形的内角和是(n-2)·180°.
A.①② B.①③ C.①②④ D.②④
5.(2014福建三明模拟)设n为正整数,f(n)=1++…+,经计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,观察上述结果,可推测出一般结论()
A.f(2n)> B.f(n2)≥
C.f(2n)≥ D.以上都不对
6.二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,观察发现S'=l;三维空间中球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,观察发现V'=S.则四维空间中“超球”的四维测度W=2πr4,猜想其三维测度V=.
7.(2014北京,文14)顾客请一位工艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客.两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:
工序
时间
原料 粗加工 精加工 原料A 9 15 原料B 6 21
则最短交货期为个工作日.
8.(2014福建,文16)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于.
9.f(x)=,先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.
10.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°
②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°
③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;
④sin2(-18°)+cos248°-sin (-18°)cos 48°;
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin (-25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
能力提升组
11.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()
A.2人 B.3人 C.4人 D.5人
12.类比“两角和与差的正弦公式”的形式,对于给定的两个函数:S(x)=ax-a-x,C(x)=ax+a-x,其中a>0,且a≠1,下面正确的运算公式是()
①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);
②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y);
③2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);
④2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
13.已知x(0,+∞),观察下列各式:
x+≥2,
x+≥3,
x+≥4,
……
类比得x+≥n+1(nN*),则a=.
14.(2014四川,文15)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x时,φ1(x)A,φ2(x)∈B.现有如下命题:
①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)A”的充要条件是“∀bR,∃a∈D,f(a)=b”;
②若函数f(x)B,则f(x)有最大值和最小值;
③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;
④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,aR)有最大值,则f(x)B.
其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)
15.如图所示,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,BFD=∠A,且DEBA.求证:ED=AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的形式表示出来).
16.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若f(x)=x3-x2+3x-,请你根据这一发现,
(1)求函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心;
(2)计算f+f+f+f+…+f.1.B解析:证明y=x3是增函数时,依据的原理就是增函数的定义,用演绎法证明y=x3是增函数时的大前提:增函数的定义,小前提:函数f(x)=x3满足增函数的定义.结论:函数f(x)=x3是增函数.故选B.
2.C解析:由“三段论”的推理方式可知,该推理的错误原因是推理形式错误.
3.D解析:利用归纳推理求解.
由Sn++2=an=Sn-Sn-1,
得=-Sn-1-2(n≥2).
又S1=a1=-,
所以S2=-,S3=-,S4=-.
由归纳推理可得S2 015=-.
4.C解析:①是类比推理,②④是归纳推理,③是非合情推理.
5.C解析:因为f(2)=,f(4)>2=,f(8)>,f(16)>3=,f(32)>,所以猜想:f(2n)≥.
6.8πr3解析:由已知,可得圆的一维测度为二维测度的导函数;球的二维测度是三维测度的导函数.类比上述结论,“超球”的三维测度是四维测度的导函数,即V=W'=(2πr4)'=8πr3.
7.42解析:最短交货期为先由徒弟完成原料B的粗加工,共需6天,然后工艺师加工该件工艺品,需21天;徒弟可在这几天中完成原料A的粗加工;最后由工艺师完成原料A的精加工,需15个工作日.故交货期为6+21+15=42个工作日.
8.201解析:由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:
(1)当①成立时,则a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立;
(2)当②成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立;
(3)当③成立时,则a=2,b≠2,c≠0,即a=2,b=0,c=1,
所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.
故答案为201.
9.解:f(0)+f(1)=
=
=,
同理可得:f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=.
由此猜想f(x)+f(1-x)=.
证明:f(x)+f(1-x)
=
=
=
=.
10.解:(1)选择②式,计算如下:
sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°
=1-sin 30°=1-.
(2)由上述5个式子的结构特征可知,三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos (30°-α)=.
证明如下:
(方法一)sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos (30°-α)
=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)
=sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α
=sin2α+cos2α=.
(方法二)sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos (30°-α)
=-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)
=-
sin αcos α-sin2α
=(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)-sin 2α-(1-cos 2α)=.
11.B解析:用A,B,C分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得A的学生最多只有一人,语文成绩得B的也最多只有1人,得C的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为3人.
12.B解析:经验证易知①②错误.依题意,注意到2S(x+y)=2(ax+y-a-x-y),S(x)C(y)+C(x)S(y)=2(ax+y-a-x-y),因此有2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);
同理有2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).
13.nn解析:第一个式子是n=1的情况,此时a=11=1;
第二个式子是n=2的情况,此时a=22=4;
第三个式子是n=3的情况,此时a=33=27,归纳可知a=nn.
14.①③④解析:对于①,若对任意的bR,都∃aD使得f(a)=b,则f(x)的值域必为R.
反之,f(x)的值域为R,则对任意的bR,都∃aD使得f(a)=b,故正确.
对于②,比如对f(x)=sin xB,但它无最大值也无最小值.
对于③,f(x)∈A,
∴f(x)∈(-∞,+∞).
∵g(x)∈B,∴存在正数M使得-M≤g(x)≤M,
故f(x)+g(x)(-∞,+∞),
∴f(x)+g(x)∉B,正确.
对于④,-,当a>0或a<0时,aln x(-∞,+∞),f(x)均无最大值,若f(x)有最大值,则a=0,此时f(x)=,f(x)B,故正确.
15.证明:(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提)
BFD与A是同位角,且BFD=∠A,(小前提)
则DFEA.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)
DEBA,且DFEA,(小前提)
则四边形AFDE为平行四边形.(结论)
(3)平行四边形的对边相等,(大前提)
ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)
则ED=AF.(结论)
上面的证明可简略地写成:
⇒四边形AFDE是平行四边形⇒ED=AF.
16.解:(1)f'(x)=x2-x+3,f″(x)=2x-1,
由f″(x)=0,即2x-1=0,
解得x=.
f+3×=1.
由题中给出的结论,可知函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为.
(2)由(1),知函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为,
所以f+f=2,
即f(x)+f(1-x)=2.
故f+f=2,
f+f=2,
f+f=2,
……
f+f=2.
所以f+f+f+f+…+
f×2×2 014=2 014.