经过两点有一条直线,并且只有一条直线,简述为两点确定一条直线。以下是直线平面垂直的判定及其性质专题练习,请考生查缺补漏。
一、填空题
1.给出下列四个命题:
(1)若直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线与平面垂直;
(2)若直线与平面内的任意一条直线都垂直,则这条直线与平面垂直;
(3)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线,则这条直线垂直于两底边所在直线;
(4)若直线垂直于梯形两底边所在的直线,则这条直线垂直于两腰所在直线.
其中正确的命题共有________个.
[解析] (1)中没有指明是两条相交直线,故错;(2)能根据平面的垂线定义知正确;(3)中梯形的两腰所在直线必相交,故正确;(4)中梯形两底边所在的直线为平行直线,故错.
[答案] 2
2.(2013广东高考改编)设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是______(填序号).
若,m,n,则mn;
若,m,n,则mn;
若mn,m,n,则
若m,mn,n,则.
[解析] 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,平面BCC1B1平面ABCD,BC1平面BCC1B1,BC平面ABCD,而BC1不垂直于BC,故错误.
平面A1B1C1D1平面ABCD,B1D1平面A1B1C1D1,AC平面ABCD,但B1D1和AC不平行,故错误.
ABA1D1,AB平面ABCD,A1D1平面A1B1C1D1,但平面A1B1C1D1平面ABCD,故错误.由线面垂直性质及面面垂直的判定,正确.
[答案]
3.PA垂直于正方形ABCD所在平面,连结PB,PC,PD,AC,BD,则一定互相垂直的平面是________.(填写正确命题的序号)
平面PAB平面PBC;平面PAB平面PAD;
平面PAB平面PCD;平面PAB平面PAC.
[解析] BC平面PAB,平面PBC平面PAB,
正确,同理AD平面PAB,
平面PAD平面PAB,正确.
[答案]
4.(2014辽宁高考)已知m,n表示两条不同直线,表示平面.下列说法正确的是________(填序号)
若m,n,则mn;
若m,n,则mn;
若m,mn,则n
若m,mn,则n.
[解析] 中m和n可以平行,相交异面,故错;中由线面垂直的性质知正确;中,n可以在平面内,故错;中,n可以和这个平面平行,相交,也可以在平面内,故错.
[答案]
5.(2013浙江高考)设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列说法正确的是________(填序号)
若m,n,则mn;
若m,m,则
若m,m,则n
若m,,则m.
[解析] 中的m,n可以相交也可异面故错;中和可以相交故错;中的m与可以平行,相交,也可在内,故错.
[答案]
6.P为ABC所在平面外一点,AC=a,PAB,PBC都是边长为a的等边三角形,则平面ABC和平面PAC的位置关系为________.
[解析] 如图所示,PA=PB=PC=AB=BC=a,
取AC中点D,连结PD、BD,
则PDAC,BDAC.
又AC=a,PD=BD=a,
在PBD中,PB2=BD2+PD2,
PDB=90,PDBD,PD平面ABC.
又PD平面PAC,
平面PAC平面ABC.
[答案] 垂直
图710
7.如图710所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可).
[解析] 由定理可知,BDPC.
当DMPC时,即有PC平面MBD,
而PC平面PCD.
平面MBD平面PCD.
[答案] DMPC(答案不唯一)
8.如图711,已知正四面体ABCD的棱长为a,E为AD的中点,连结CE,则CE与底面BCD所成角的正弦值为________.
图711
[解析] 分别过点A,E作AO平面BCD,EH平面BCD,由题意知,O、H、D共线,连结CH,则ECH即为CE与底面BCD所成的角,OD=a=a,AO==a,EH=AO=a,CE=a,
所以sinECH==.
[答案]
二、解答题
9.如图712,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC,D为BC的中点,E为BD的中点,F在AC1上,且AC1=4AF.
图712
(1)求证:平面ADF平面BCC1B1;
(2)求证:EF平面ABB1A1.
[解] (1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,CC1平面ABC,而AD平面ABC,所以CC1AD.
又AB=AC,D为BC的中点,所以ADBC.
因为BCCC1=C,BC平面BCC1B1,CC1平面BCC1B1,所以AD平面BCC1B1,
又AD平面ADF,所以平面ADF平面BCC1B1.
(2)连结CF并延长交AA1于点G,连结GB.
因为AC1=4AF,AA1CC1,所以CF=3FG.
因为D为BC的中点,E为BD的中点,
所以CE=3EB,所以EFGB.
又EF平面ABB1A1,GB平面ABB1A1,
所以EF平面ABB1A1.
10.(2014江苏高考)如图713,在三棱锥PABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PAAC,PA=6,BC=8,DF=5.
图713
求证:(1)直线PA平面DEF;
(2)平面BDE平面ABC.
[证明] (1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DEPA.
又因为PA平面DEF,DE平面DEF,
所以直线PA平面DEF.
(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DEPA,DE=PA=3,EF=BC=4.
又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,
所以DEF=90,即DEEF.
又PAAC,DEPA,所以DEAC.
因为ACEF=E,AC平面ABC,EF平面ABC,
所以DE平面ABC.
又DE平面BDE,
所以平面BDE平面ABC.
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