空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模。以下是查字典数学网整理的空间向量及其运算理专题训练，请考生练习。
一、填空题
1.已知A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，则这四个点________(填共面或不共面).
[解析] =(3,4,5)，=(1,2,2)，=(9,14,16)，
设=x+y，即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y)，得x=2，y=3.
[答案] 共面
2.(2014济南调研)在下列命题中：
若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行;
若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面;
若三个向量a，b，c，两两共面，则向量a，b，c共面;
已知空间的三个向量a，b，c.则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z得p=xa+yb+zc.
其中不正确的命题是________(填序号).
[解析] a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确.根据平移向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误.三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确.只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc，故不正确.
[答案]
3.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，设=a，OB=b，=c，则=________.(用a，b，c表示)
[解析] =-=(+)-
=b+c-a.
[答案] b+c-a
4.(2012上海高考)若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是________.(填序号)
(a+b)c=ac+b(a+b)+c=a+(b+c);m(a+b)=ma+nb;(ab)c=a(bc).
[解析] (ab)c=|a||b|cos c，a(bc)=|b||c|cos a，a与c的模不一定相等且不一定同向，故错.
[答案] (4)
5.已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有=2++，则=________.
[解析] 根据共面向量知P，A，B，C四点共面，则=x+y+z，且x+y+z=1，所以2++=1，=-.
[答案] -
6.若向量a=(1，，2)，b=(2，-1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则等于________.
[解析] 由已知得==，
解得=-2或=.
[答案] -2或
7.(2014徐州模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量=(1,2,3)，=(2,1,2)，=(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当取得最小值时，的坐标是________.
[解析] 点Q在直线OP上，设点Q(，，2)，
则=(1-，2-，3-2)，=(2-，1-，2-2)，
=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=62-.
当=时，取得最小值-.
此时=.
[答案]
图76
8.如图76所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，则cos〈，〉的值为________.
[解析] 设=a，=b，=c，
由已知条件〈a，b〉=〈a，c〉=，且|b|=|c|，
=a(c-b)=ac-ab
=|a||c|-|a||b|=0，即〈〉=，
所以cos〈，〉=0.
[答案] 0
二、解答题
9.已知空间三点A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1，-1,5)，
(1)求以，为边的平行四边形的面积;
(2)若|a|=，且a分别与，垂直，求a的坐标.
[解] (1)由题意可得：=(-2，-1,3)，=(1，-3,2)，
cos〈，〉===，
sin〈，〉=，
以，为边的平行四边形的面积为
S=2||||sin〈，〉=14=7.
(2)设a=(x，y，z)，由题意得
解得或
向量a的坐标为(1,1,1)或(-1，-1，-1).
图77
10.(2014张家港调研)如图77，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心，
(1)试证：A1，G，C三点共线;
(2)试证：A1C平面BC1D.
[证明] (1)=++=++，
可以证明：=(++)=，
∥，即A1，G，C三点共线.
(2)设=a，CD=b，=c，则|a|=|b|=|c|=a，
且ab=bc=ca=0，
=a+b+c，=c-a，
=(a+b+c)(c-a)=c2-a2=0，
因此，即CA1BC1，
同理CA1BD，
又BDBC1=B，
A1C平面BC1D.
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