数列是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数,是一列有序的数。以下是查字典数学网整理的数列的综合应用专题训练,请考生练习。
一、填空题
1.(2014南通质检)已知数列{an}满足:a1=1,an0,a-a=1(nN*),那么使an5成立的n的最大值________.
[解析] 由a-a=1(nN*)知,数列{a}是首项为1,公差为1的等差数列,则a=1+(n-1)1=n.
由an5,n25,则n的最大值为24.
[答案] 24
2.数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}中连续的三项,则数列{bn}的公比q=________.
[解析] 设数列{an}的公差为d(d0),由a=a1a7得(a1+2d)2=a1(a1+6d),解得a1=2d.
故数列{bn}的公比q====2.
[答案] 2
3.(2014泰州模拟)设数列{an}是首项大于零的等比数列,则a10,当a11.{an}为递增数列;若{an}为递增数列,则q1,a10),
若交换a,b,则b,b-d,b+d成等比数列,得(b-d)2=b(b+d),解得d=3b,a=-2b,c=4b.
==10.
若交换a,c,则d=0(舍去).
若交换b,c也可得=10,综上,=10.
[答案] 10
7.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
[解析] 设倒n次后纯酒精与总溶液的体积比为an,
则an=n,由题意知n10%,n4.
[答案] 4
8.已知数列{an}为等差数列,公差为d,若-1,且它的前n项和Sn有最大值,则使得Sn0的n的最小值为________.
[解析] 根据Sn有最大值知,d0,则a10a11,
由-1知,a10a11,
且a11-a10即a10+a110,从而S19==19a100,
S20==10(a10+a11)0,
则使Sn0的n的最小值为20.
[答案] 20
二、解答题
9.(2013天津高考)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(nN*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:Sn+(nN*).
[解] (1)设等比数列{an}的公比为q.
因为-2S2,S3,4S4成等差数列,
所以S3+2S2=4S4-S3,
即S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,
于是q==-.
又因为a1=,所以等比数列{an}的通项公式为an=n-1=(-1)n-1.
(2)证明:Sn=1-n,Sn+=1-n+=
当n为奇数时,Sn+随n的增大而减小.
所以Sn+S1+=.
当n为偶数时,Sn+随n的增大而减小,
所以Sn+S2+=.
故对于nN*,有Sn+.
10.某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年,每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M的价值为上年初的75%.
(1)求第n年初M的价值an的表达式;
(2)设An=,若An大于80万元,则M继续使用,否则需在第n年初对M更新.证明:需在第9年初对M更新.
[解] (1)当n6时,数列{an}是首项为120,公差为-10的等差数列,an=120-10(n-1)=130-10n.
当n7时,数列{an}是以a6为首项,公比为的等比数列,又a6=70,所以an=70n-6.
因此,第n年初,M的价值an的表达式为
an=
(2)设Sn表示数列{an}的前n项和,由等差及等比数列的求和公式得当16时,Sn=120n-5n(n-1),An=120-5(n-1)=125-5n;
当n7时,由于S6=570,
故Sn=S6+(a7+a8++an)
=570+704
=780-210n-6.
An=.
因为{an}是递减数列,所以{An}是递减数列,
又A8==8280,
A9==7680,
所以需在第9年初对M更新.
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