2016年高考数学的复习重在掌握知识点,以下是浏阳一中高三上学期第一次月考数学试卷,请大家认真练习。
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,计60分,每小题有四个选项,其中只有一项是符合题意的,请把你认为正确的答案填在答题纸的相应位置)
1.复数等于( C )
A. B. C. D.
2. 2.函数的零点所在区间是( A )
A. B. C. D.
3.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20,灯塔B在观察站C的南偏东40,则灯塔A与灯塔B的距离为( D )
A.a km B.a km
C.2a km D.a km
4.己知函数(x)=,则(5)的值为 B. C.1 D.
5.已知m是2,8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率为 A.或 B. C. D.或
是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列命题:
① 若; ② 若;
③ 若; ④ 若,则
其中正确命题的个数为( B )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.某程序框图如图所示,若输出的S = 57,则判断框内应为( B )
A.k5? B.k4?
C.k7? D.k6?
与的模分别为6和5,夹角为120,则 B. C. D.
9.从10名高三年级优秀学生中挑选3人担任校长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为( C )
A.85 B.56 C.49 D.28
10.下列说法正确的是 ( B )
A.命题,的否定是,.
B.命题 已知,若,则或是真命题 .
C.在上恒成立在上恒成立.
D.命题若,则函数只有一个零点的逆命题为真命题.
11.由的图象向左平移个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象,则为( B )
A. B. C. D.
12.已知都是定义在上的函数,,,且,且,.若数列的前项和大于,则的最小值
为( A )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】∵,,∵,
,即,,
∵,,,,,
数列为等比数列,,,即,
所以的最小值为6。
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把你认为正确的答案填在答题纸的相应位置)
13.若等比数列{ }的首项为,且,则公比等于_____________.3
14.投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为,设,则满足的概率为
15.在ABC中,a,b,cA,B,CA=60,若,且5sinB=3sinC,ABC的周长等于 .
16. 函数,其中,若动直线与函数的图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为,则是否存在最大值?若存在,在横线处填写其最大值;若不存在,直接填写不存在_______________.1
【解析】由得,即,解得或。即,,所以,所以由图象可知要使直线与函数的图像有三个不同的交点,则有,即实数的取值范围是。不妨设,则由题意可知,所以,由得,所以,因为,所以,即存在最大值,最大值为1.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答写在答题卡上的指定区域内)
17.(本题满分10分)
己知其中(0,),且//。
(1)求sin的值;
(2)已知△ABC中,A=,BC=2+1,求边AC的最大值。
解析:(1)因为,且//,
所以,
又(0,),,
所以;
(2) △ABC中,由正弦定理得:,即,所以,当且仅当sinB=1,即时AC取得最大值.
18.(本题满分12分)在数列中,已知.
()求数列的通项公式;
()设数列满足,求的前n项和.
解:( 1)∵,数列{}是首项为,公比为的等比数列,.
(3)
19.(本题满分12分)某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行,每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛,否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是,且各阶段通过与否相互独立.
(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率;
(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为,求的分布列、数学期望.
解:(1)记该选手通过初赛为事件A,该选手通过复赛为事件B,该选手通过
决赛为事件C,则
那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率
. -------6分
(2)可能取值为1,2,3. -------7分
的分布列为:
1 2 3 P -------10分
的数学期望 -------12分
20.(本题满分12分)
如图,三棱柱中,面,
,,为的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
解: (Ⅰ)证明:依题可建立如图的空间直角坐标系,1分
则C1(0,0,0),B(0,3,2),B1(0,0,2),
C(0,3,0),A(2,3,0), D(1,3,0), 2分设是面BDC1的一个法向量,则
即,取.
又,所以,即
∵AB1面BDC1,AB1//面BDC1. 6分
(Ⅱ)易知是面ABC的一个法向量.
. 7分
二面角C1BDC的余弦值为. 12分
21.(本题满分12分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).
(1) 求双曲线C的方程;
(2) 若直线y=kx+m(k0,m0)C交于不同的两点M、N,MN的垂直平分线过点A(0,-1),m的取值范围.
解:(1)设双曲线方程为-=1(a0,b0).由已知得a=,c=2,
又a2+b2=c2,得b2=1,故双曲线C的方程为-y2=1.
(2)联立,整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点,,
可得m23k2-1且k2. ①
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为B(x0,y0),则x1+x2=,x0==,
y0=kx0+m=,由题意,ABMN,∵kAB==-(k0,m0),
整理得3k2=4m+1,② 将②代入①,得m2-4m0,m0或m4,
又3k2=4m+10),即m-.m的取值范围是(-,0)(4,+).
22.(本题满分12分)
已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数在其定义域内为增函数,求的取值范围;
(3)在(2)的条件下,设函数,若在上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
解:(Ⅰ)当时,函数, .
,
曲线在点处的切线的斜率为.
从而曲线在点处的切线方程为,
即. 4分
(Ⅱ).
要使在定义域内是增函数,只需在内恒成立.
即: 得: 恒成立.
由于 , ,
在内为增函数,实数的取值范围是. 8分
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