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2016年高考数学第一轮复习提分专练习题:导数的综合应用

2015-12-01

学无止境,高中是人生成长变化最快的阶段,所以应该用心去想去做好每件事,查字典数学网为大家整理了2016年高考数学第一轮复习提分专练习题:导数的综合应用,希望可以帮助到更多同学!

一、选择题

1.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,f(x)g(x)+f(x)g(x)0且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是()

A.(-3,0)(3,+)B.(-3,0)(0,3)

C.(-,-3)(3,+) D.(-,-3)(0,3)

答案:D 解题思路:因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以h(x)=f(x)g(x)为奇函数,当x0时,h(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)0,所以h(x)在(-,0)为单调增函数,h(-3)=-h(3)=0,所以当x0时,h(x)0=h(-3),解得x-3,当x0时,h(x)0,解得-30时h(x)0的x的取值范围为(0,3),故选D.

2.若f(x)=x2-2x-4ln x,不等式f(x)0的解集记为p,关于x的不等式x2+(a-1)x-a0的解集记为q,且p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是()

A.(-2,-1] B.[-2,-1]

C. D.[-2,+)

答案:D 解题思路:对于命题p: f(x)=x2-2x-4ln x, f(x)=2x-2-=,

由f(x)0,得 x2.由p是q的充分不必要条件知,命题p的解集(2,+)是命题q不等式解集的子集,对于命题q:x2+(a-1)x-a0(x+a)(x-1)0,当a-1时,解集为(-,-a)(1,+),显然符合题意;当a-1时,解集为(-,1)(-a,+),则由题意得-2-1.综上,实数a的取值范围是[-2,+),故选D.

3.已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足=ax,且f(x)g(x)

A.7B.6C.5D.4

答案:B 解题思路:由f(x)g(x)

4.(河南适应测试)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x(-,0]时,f(x)=e-x-ex2+a,则函数f(x)在x=1处的切线方程为()

A.x+y=0 B.ex-y+1-e=0

C.ex+y-1-e=0 D.x-y=0

答案:B 命题立意:本题考查了函数的奇偶性及函数的导数的应用,难度中等.

解题思路: 函数f(x)是R上的奇函数,

f(x)=-f(-x),且f(0)=1+a=0,得a=-1,设x0,则-x0,则f(x)=-f(-x)=-(ex-ex2-1)=-ex+ex2+1,且f(1)=1,求导可得f(x)=-ex+2ex,则f(1)=e,

f(x)在x=1处的切线方程y-1=e(x-1),即得ex-y+1-e=0,故应选B.

易错点拨:要注意函数中的隐含条件的挖掘,特别是一些变量的值及函数图象上的特殊点,避免出现遗漏性错误.

5.设二次函数f(x)=ax2-4bx+c,对xR,恒有f(x)0,其导数满足f(0)0,则的最大值为()

A. B. C.0 D.1

答案:C 解题思路:本题考查基本不等式的应用.因为f(x)0恒成立,所以a0且=16b2-4ac0.又因为f(x)=2ax-4b,而f(0)0,所以b0,则==2-,又因4a+c8b,所以2,故2-2=0,当且仅当4a=c,ac=4b2,即当a=b,c=4b时,取到最大值,其值为0.

技巧点拨:在运用均值不等式解决问题时,一定要注意一正二定三等,特别是要注意等号成立的条件是否满足.

6.已知函数f(x),g(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数,它们在同一坐标系下的图象如图所示,设函数h(x)=f(x)-g(x),则()

A.h(1)

B.h(1)

C.h(0)

D.h(0)

答案:D 解题思路:本题考查函数及导函数的图象.取特殊值,令f(x)=x2,g(x)=x3,则h(0)

二、填空题

7.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),给出定义:设f(x)是函数y=f(x)的导数,f(x)是f(x)的导数,若方程f(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的拐点.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有拐点任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.根据这一发现,则函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为________.

答案: 解题思路:由f(x)=x3-x2+3x-,得f(x)=x2-x+3,f(x)=2x-1,由f(x)=0,解得x=,且f=1,所以此函数的对称中心为.

8.设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对所有的x0都有f(x)ax成立,则实数a的取值范围为________.

答案:(-,1] 解题思路:令g(x)=(1+x)ln(1+x)-ax,对函数g(x)求导数g(x)=ln(1+x)+1-a,令g(x)=0,解得x=ea-1-1.

当a1时,对所有x0,g(x)0,所以g(x)在[0,+)上是增函数.

又g(0)=0,所以对x0,有g(x)0,

即当a1时,对于所有x0,都有f(x)ax.

当a1时,对于0

又g(0)=0,所以对0

所以,当a1时,不是对所有的x0都有f(x)ax成立.

综上,a的取值范围为(-,1].

三、解答题

9.已知函数f(x)=x3-ax+1.

(1)当x=1时,f(x)取得极值,求a的值;

(2)求f(x)在[0,1]上的最小值;

(3)若对任意mR,直线y=-x+m都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围.

解析:(1)因为f(x)=x2-a,

当x=1时,f(x)取得极值,所以f(1)=1-a=0,a=1.

又当x(-1,1)时,f(x)当x(1,+)时,f(x)0,

所以f(x)在x=1处取得极小值,即a=1时符合题意.

(2)当a0时,f(x)0对x(0,1)恒成立,

所以f(x)在(0,1)上单调递增,f(x)在x=0处取得最小值f(0)=1.

当a0时,令f(x)=x2-a=0,

x1=-,x2=,

当0

当x(0,)时,f(x)0,f(x)单调递减;

当x(,1)时,f(x)0,f(x)单调递增.

所以f(x)在x=处取得最小值f()=1-.

当a1时,1.

x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递减,

所以f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-a.

综上所述,当a0时,f(x)在x=0处取得最小值f(0)=1;

当0

当a1时,f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-a.

(3)因为mR,直线y=-x+m都不是曲线y=f(x)的切线,

所以f(x)=x2-a-1对xR恒成立,

只要f(x)=x2-a的最小值大于-1即可.

而f(x)=x2-a的最小值为f(0)=-a,

所以-a-1,即a1.

故a的取值范围是(-,1).

10.已知函数f(x)=x-ax2-ln(1+x),其中aR.

(1)若x=2是f(x)的极值点,求a的值;

(2)求f(x)的单调区间;

(3)若f(x)在[0,+)上的最大值是0,求a的取值范围.

命题立意:本题考查导数与函数的极值、单调性、最值等知识,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查函数与方程、分类整合等数学思想方法.(1)根据可导函数在一定点处取得极值的必要条件是其导数等于零,得出关于a的方程即可求出a,再根据极值点两侧导数值异号进行检验;(2)讨论导数的符号,就参数a的取值情况进行分类讨论即可;(3)根据函数的单调性和极值点,以及函数最大值的概念分情况解决.

解析:(1)f(x)=,x(-1,+).

依题意,得f(2)=0,解得a=.

经检验,a=时,符合题意.

(2)当a=0时,f(x)=,x(-1,+).

故f(x)的单调增区间是(0,+),单调减区间是(-1,0).

当a0时,令f(x)=0,得

x1=0,x2=-1,

当0

f(x)的单调增区间是,单调减区间是(-1,0).

当a=1时,f(x)的单调减区间是(-1,+).

当a1时,-11时,f(x)的单调增区间是-1,0,单调减区间是(0,+).

(3)由(2)知a0时,f(x)在(0,+)上单调递增,由f(0)=0知不合题意.

当00,f(x)在区间上递增可知,ff(0)=0知不合题意.

当a1时,f(x)在(0,+)单调递减,可得f(x)在[0,+)上的最大值是f(0)=0,符合题意.

f(x)在[0,+)上的最大值是0时,a的取值范围是[1,+).

11.设函数f(x)=xln x(x0).

(1)求函数f(x)的最小值;

(2)设F(x)=ax2+f(x)(aR),讨论函数F(x)的单调性;

(3)斜率为k的直线与曲线y=f(x)交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10),

令f(x)=0,得x=.

当x时,f(x)

当x时,f(x)0.

当x=时,f(x)min=ln=-.

(2)F(x)=ax2+ln x+1(x0),

F(x)=2ax+=(x0).

当a0时,恒有F(x)0,F(x)在(0,+)上是增函数;

当a0时,

令F(x)0,得2ax2+10,

解得0.

综上,当a0时,F(x)在(0,+)上是增函数;

当a0时,F(x)在上单调递增,在上单调递减.

(3)k==.

要证x11知ln t0,故等价于证ln t1).(*)

设g(t)=t-1-ln t(t1),

则g(t)=1-1),

故g(t)在[1,+)上是增函数.

当t1时,g(t)=t-1-ln tg(1)=0,

即t-1ln t(t1).

设h(t)=tln t-(t-1)(t1),

则h(t)=ln t1),

故h(t)在[1,+)上是增函数.

当t1时,h(t)=tln t-(t-1)h(1)=0,

即t-11).

由知(*)成立,得证.

12.已知函数f(x)=ln x-px+1.

(1)求函数f(x)的极值点;

(2)若对任意的x0,恒有f(x)0,求p的取值范围;

(3)证明:+++(nN,n2).

解析:(1)由已知f(x)的定义域为(0,+),f(x)=-p=, x0,当p0时,f(x)0, f(x)在(0,+)上单调递增,

f(x)无极值点;

当p0时,令f(x)=0, x=(0,+),f(x),f(x)随x的变化情况如下表:

x f(x) + 0 - f(x) 增 极大 减 从上表可以看出:当p0时,f(x)有唯一的极大值点x=.

(2)当p0时,f(x)在(0,+)上单调递增,

所以不可能对任意的x0,恒有f(x)0,

当p0时,由(1)知在x=处取得极大值f=ln ,此时极大值也是最大值.要使f(x)0恒成立,只需f=ln 0,解得p1,所以p的取值范围是[1,+).

(3)证明:令p=1,由(2)知ln x-x+10,

ln xx-1,

nN,n2, 令x=n2,则ln n2n2-1,

=1-,

+++

=

=--+-++-

=-

=,

所以结论成立.

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