一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内(本大题共12个小题，每小题5分，共60分).
1.(理)设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 ( )
A.ad-bc=0 B.ac-bd=0 C.ac+bd=0 D.ad+bc=0
(文)曲线 在点(-1，-3)处的切线方程是 ( )
A. B. C. D.
2.函数 ，已知 在 时取得极值，则 = ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.(理)复数z在复平面内对应的点为A, 将点A绕坐标原点, 按逆时针方向旋转 , 再向左平移一个单位, 向下平移一个单位, 得到B点, 此时点B与点A恰好关于坐标原点对称, 则复数z为 ( )
A.-1 B.1 C.i D.- i
(文)如果函数 的图像与函数 的图像关于坐标原点对称，则 的表达式为 ( )
A. B. C. D.
4.(理)复数 等于 ( )
A. B. C. D.
(文)函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 ( )
A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16
5.设f0(x)=sinx，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…，fn+1(x)=fn′(x)，n∈N，则f2006(x)=( )
A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx
6.(理)若复数 (a∈R，i为虚数单位位)是纯虚数，则实数a的值为
A.-2 B.4 C.-6 D.6
(文)函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D. 4个
7.函数y=f(x) 的图象过原点且它的导函数y=f′(x)的图象是如
图所示的一条直线，y=f(x)的图象的顶点在 ( )
A.第I象限 B.第II象限
C.第Ⅲ象限 D.第IV象限
8.(理)若复数 满足方程 ，则 ( )
A. B. C. D.
(文)下列式子中与 相等的是 ( )
(1) ; (2) ;
(3) (4) .
A.(1)(2) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)(4)
9.(理)设z1, z2是非零复数满足z12+ z1z2+ z22=0, 则( )2+( )的值是 ( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
(文)对于 上的任意函数 ，若满足 ，则必有 ( )A. B.
C. D.
10.设函数 的图象上的点 处的切线的斜率为 ，若 ，则函数 的图象大致为 ( )
A. B. C. D.
11.设 ，当 时取得极大值，当 时取得极小值，则 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
12.(理)若 ，令 ，则 的值(其中 )( )
A.1 B. C. D.
(文)用长度分别为2、3、4、5、6(单位： )的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为 ( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：请把答案填在题中横线上(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)。
13.曲线 在点(1，1)处的切线方程为 .
14.(理)已知复数： ，复数 满足 ，则复数 .
(文)设函数 。若 是奇函数，则 __________。
15.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_ _.
16.(理)若非零复数 满足 ,则 的值是 .
(文)等边三角形的高为8cm时, 面积对高的变化率为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。
17.(12分)(理)求同时满足下列条件的所有的复数z, ①z+ ∈R, 且1
(文)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y= (0
(Ⅰ)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升?
(Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
18.(12分)(理)已知复数
满足，复平面内有RtΔABC，其中∠BAC=90°，
点A、B、C分别对应复数 ，如图
所示，求z的值。
(文)已知函数 在点 处取得极大值5，其导函数
的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，求：
(Ⅰ) 的值;
(Ⅱ)a，b，c 的值.
19.(12分)(理)抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a、b值，并求Smax.
(文)已知二次函数 的图像经过坐标原点，其导函数为 ，数列 的前n项和为 ，点 均在函数 的图像上。
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设 ， 是数列 的前n项和，求使得 对所有 都成立的最小正整数m;
20.(12分)请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中心 的距离为多少时，帐篷的体积最大?
21.(12分)已知函数 在R上有定义，对任何实数 和任何实数 ，都有
(Ⅰ)证明 ;
(Ⅱ)证明 其中 和 均为常数;
(Ⅲ)当(Ⅱ)中的 时，设 ，讨论 在 内的单调性并求极值。
22.(14分)设函数 .
(Ⅰ)证明 ,其中为k为整数;
(Ⅱ)设 为 的一个极值点，证明 ;
(Ⅲ)设 在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列 ,证明
参考答案
一、选择题
1.(理)D(文)D;2.B;3.(理)B(文)D;4.(理)A(文)A;5.B;6.(理)C(文)A;7.A;8.(理)C(文)B;9.(理)C(文)C;10.A;11.D;12.(理) C(文)B;
二、填空题
13.x+y-2=0;14.(理) (文)π6 ;15. ;16.-1(文) 。
三、解答题
17.(理)解：设z=x+yi, (x, y∈R), 则z+ =x(1+ )+y(1- )i .
∵z+ ∈R,
∴y(1- )=0.
∴y=0, 或x2+y2=10.
又1
∴1< x(1+ )≤6.①当y=0时, ①可以化为10时, x+ ≥2 >6. 故y=0时, ①无解. 当x2+y2=10时, ①可化为1<2x≤6, 即
∵x, y∈Z, 故可得z=1+3i ,或 1-3i ,或 3+i ,或 3-i .
(文)解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时,要耗油( .
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.
(2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了 设耗油量为h(x)升，衣题意得
h(x)=( )• ,
h’(x)= ，(0
令h’(x)=0，得x=80.
当x∈(0,80)时，h’(x)<0,h(x)是减函数;
当x∈(80,120)时，h’(x)>0,h(x)是增函数.
∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.
因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.
18.(理)解法一：由 ，得A点坐标为(a，b)。
由 ，得B点坐标为( )
由 ，得B点坐标为( )
解法二：容易验证 恒成立，
由于 ，即为 ，
将其变形为 ，
化简得 ，从而得到 。
(文)解法一：
(Ⅰ)由图象可知，在(-∞，1)上 ,在(1,2)上 ,在 上 , 故 在 , 上递增,在(1,2)上递减,因此 在 处取得极大值,所以 .
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
19.(理)解：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=-b/a，所以 (1)
又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组
得ax2+(b+1)x-4=0，其判别式必须为0，即(b+1)2+16a=0.
于是 代入(1)式得：
令S'(b)=0;在b>0时得唯一驻点b=3，且当00;当b>3时，S'(b)<0.故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=-1，b=3时，S取得最大值，且 。
(文)解：(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得
a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.
又因为点 均在函数 的图像上，所以 =3n2-2n.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- =6n-5.
当n=1时，a1=S1=3×12-2=6×1-5，所以，an=6n-5 ( )
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 = = ，
故Tn= = = (1- ).
因此，要使 (1- )< ( )成立的m,必须且仅须满足 ≤ ，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
20.解：设OO1为x m,
则由题设可得正六棱锥底面边长为(单位：m)
于是底面正六边形的面积为(单位：m2)
帐篷的体积为(单位：m3)
求导数，得
令 解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.
当1
当2
所以当x=2时,V(x)最大。
答当OO1为2m时，帐篷的体积最大。
21.证明(Ⅰ)令 ，则 ，∵ ，∴ 。
(Ⅱ)①令 ，∵ ，∴ ，则 。
假设 时， ，则 ，而 ，∴ ，即 成立。
②令 ，∵ ，∴ ，
假设 时， ，则 ，而 ，
∴ ，即 成立。
∴ 成立。
(Ⅲ)当 时， ，
令 ，得 ;
当 时， ，
∴ 是单调递减函数;
当 时， ，
∴ 是单调递增函数;
所以当 时，函数 在 内取得极小值，极小值为
22.(Ⅰ)证明：由函数f (x)的定义，对任意整数k，有
(Ⅱ)证明：函数
①
显然，对于满足上述方程的x有 ，上述方程化简为 如图所示，此方程一定有解，
由
(Ⅲ)证明：
即 在第二或第四象限内.由①式， 在第二象限或第四象限中的符号可列表如下：
x
x0
的符号 k为奇数 - 0 +
k为偶数 + 0 -
所以满足 的正根x0都为 的极值点.
由题设条件， 的全部 正实根且满足
那么对于n=1,2,…,
②
由于
由于 由②式知 必在第二象限，即
综上，