山西四校2015届高三上学期数学第一次联考试卷（文）
【满分150分，考试时间120分】
第Ⅰ卷 客观卷 共60分
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)
1. 已知集合 ， ，则
A. [1,2] B. [0,2] C. [-1,1] D. (0,2)
2. 若 为虚数单位 ，则
A. B. C. D.
3. 集合 ，从集合 中各任意取一个数，则这两个数的和等于 的
概率是
A. 23 B. 12 C. 13 D. 16
4. 已知双曲线 的离心率为 ，则此双曲线的渐近线方程为
A.y=2x B. y=2x C. y=22x D. y=12x
5. 已知等差数列 的前 项之和为 ，则
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
6. 下列说法正确的是
A. 命题 x0R，x02+x0+1的否定是： xR，x2+x+1;
B. x=-1是x2-5x-6=0的必要不充分条件;
C. 命题若x2=1，则x=1的否命题是：若x2=1，则x
D. 命题若x=y，则sin x=sin y的逆否命题为真命题.
7. 执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，
输入 的值为
A.2 B.
C.-2或-3 D.2或-3
8. 函数 的零点所在的一个区间是
A. (18，14) B. (14，12) C. (12，1) D. (1，2)
9. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ， 为抛物线 上一点，若△ 的外接圆与抛物线 的准线相切，且外接圆的面积为 ，则
A. 2 B. 4 C.6 D. 8
10. 已知一个棱长为 的正方体，被一个平面截后所得几何体
的三视图如图所示，则该截面的面积为
A.
B. 3
C. 4
D.
11. 已知函数 ， 若对于任意 ,不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
12. 在△ 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 边上的高为 ，则 的最大值是
A. 8 B. 6 C. D. 4
第Ⅱ卷 主观卷 共90分
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)
13. 若实数 满足 ，则目标函数 的最大值是
14. 已知 是夹角为 的单位向量，向量 ，若 ，则实数
15. 三棱锥 的四个顶点均在同一球面上，其中△ 为等边三角形， ， ,则该球的体积是
16. 已知函数 ，将 的图像向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到函数 的图象，若函数 在 上至少含有 个零点，则 的最小值为
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17.(本小题满分12分)
在公差不为零的等差数列{ }中， ， 成等比数列.
(1)求数列{ }的通项公式;
(2)设数列{ }的前 项和为 ，记 . 求数列 的前 项和 .
18.(本小题满分12分)
如图五面体中，四边形 为矩形， ,四边形 为梯形,
且 , .
(1)求证：
(2)求此五面体的体积.
19.(本小题满分12分)
患三高疾病不患三高疾病合计
男630
女
合计36
近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病.为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：
(1)请将如图的列联表补充完整;若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽 人，其中女性抽多少人?
(2)为了研究三高疾病是否与性别有关，
请计算出统计量 ，并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关?
下面的临界值表供参考：
0.150.100.050.0250.0100.0050.001
2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
(参考公式 ，其中 )
20.(本小题满分12分)
已知函数 ，其中 为常数，且 .
(1)若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求函数 的单调递减区间;
(2)若函数 在区间 上的最小值为 ，求 的值.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆 ，离心率为 ，两焦点分别为 、 ，过 的直线交椭圆 于 两点，且△ 的周长为 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)过点 作圆 的切线 交椭圆 于 两点,求弦长 的最大值.
22. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图， 内接于直径为 的圆 ，过点 作圆 的切线交 的延长线于点 ， 的平分线分别交 和圆 为点 , ，
若 .
(1)求证： ;
(2)求 的值.
23.(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程选讲
已知直线 ： ( 为参数，为 的倾斜角)，以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
(1)若直线 与曲线 相切，求 的值;
(2)设曲线 上任意一点的直角坐标为 ，求 的取值范围.
24.(本小题满分10分)选修45：不等式选讲
已知正实数 满足： .
(1)求 的最小值 ;
(2)设函数 ，对于(1)中求得的 ，是否存在实数 ，使 成立，说明理由.
2015届高三年级第一次四校联考数学试题(文)答案
一、1-6.BACCBD 7-12. DCBABD
二、13. 14. 15. 16.
三、17.解：①设{ }的公差为 ，依题意得 ，3分
解得 ， 5分
即 . 6分
②
9分
故 Tn= . 12分
18.解：(1)证明：连 ，过 作 ，垂足为 ，
∵ ， ，
， 2分
又，BC=4，AB=4，BM=AN=4， ，
， = ，
∵ ， ， 4分
∵ ，
6分
(2)连接CN， , 8分
又 ，所以平面 平面 ，且平面 ， ， ，
， 9分
11分
此几何体的体积 12分
19.(本题满分12分)解：(1)
患三高疾病不患三高疾病合计
男24630
女121830
合计362460
3分
在患三高疾病人群中抽 人，则抽取比例为
女性应该抽取 人. 6分
(2)∵ 8分
， 10分
那么，我们有 的把握认为是否患三高疾病与性别有关系.12分
20.解： ( ) 2分
(1)因为曲线 在点(1， )处的切线与直线 垂直，，
所以 ，即 解得 4分
当 时， ， 。
令 ，解得 所以函数的递减区间为： 6分
(2)当 时， 在(1，3)上恒成立，这时 在[1，3]上为增函数
令 ，得 (舍去) 7分
当 时，由 得，
对于 有 在 上为减函数，
对于 有 在 上为增函数，
，令 ，得 9分
当 时， 在(1，3)上恒成立，这时 在 上为减函数，
. 令 得 (舍去)
综上， 12分
21.解：(1)由题得： ， ，所以 ， 。 3分
又 ，所以 即椭圆 的方程为 . 4分
(2)由题意知， .
当 时，切线l的方程 ，点A、B的坐标分别为
此时 当m=-1时，同理可得 5分
当 时，设切线 的方程为
由
设A、B两点的坐标分别为 ，
则
又由l与圆 得
所以
9分
因为 所以
且当 时，|AB|=2，
由于当 时， 所以|AB|的最大值为2. 12分
22.解：(1)∵PA是圆O的切线 又 是公共角
∽ 2分
4分
(2)由切割线定理得：
又PB=5 6分
又∵AD是 的平分线
8分
又由相交弦定理得： 10分
23.解：(1)曲线C的直角坐标方程为
即 曲线C为圆心为(3,0)，半径为2的圆.
直线l的方程为: 3分
∵直线l与曲线C相切
即 5分
∵ [0, = 6分
(法二)①将 化成直角坐标方程为 2分
由 消去 得 4分
∵ 与C相切 =64 -48=0 解得cos=
∵ [0, = 6分
(2)设
则 = 9分
的取值范围是 . 10分
24.解：(1)∵ 即 2分
又 当且仅当 时取等号.
5分
(2) 9分
满足条件的实数 不存在. 10分
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