2015届高三数学一模理科试题(附答案)
一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 ,集合 ,则
A. B. C. D.
2.已知 是虚数单位,则在复平面中复数 对应的点在
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则
A. B. C. D.
4.设 ,则 是 的
A.充分不必要条件B. 必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知两个不同的平面 和两个不重合的直线m、n,有下列四个命题:
①若 ;②若 ;
③若 ;④若 .
其中正确命题的个数是
A.0B.1C.2D.3
6.要得到函数 的图象,只需将函数 的图象
A.向左平移 个单位长度B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度D.向右平移 个单位长度
7. 已知双曲线 的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线的斜率的取值范围是
A. B. C. D.
8.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两 人至少有一 人参加,当甲乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为
A.360B.520C.600D.720
9.设函数 若 ,则关于 的方程 的解的个数为
A.4B.3C.2D.1
10.已知向量 的夹角为 时取得最小值,当 时,夹角 的取值范围为
A. B. C. D.
第II卷(非选择题 共100分)
二、填空题:本大题共5个小题,每小题5分,共25分..
11.若 对任意的 恒成立,则实数k的取值范围为_________.
12.如图给出的是计算 的值的程序框图,其中判断框内应填入的是_______.
13.已知圆C过点 ,且圆心在 轴的负半轴上,直线 被该圆所截得的弦长为 ,则圆C的标准方程为________________.]
14.定义: ,在区域 内任取一点 的概率为__________.
15.已知 恒成立,则实数m的取值范围是_______.
三、解答题:本大题共6个小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为 ,且 ..
(I)求 的值;
(II)若 面积的最大值.
17.(本小题满分12分)
如图,在七面体ABCDMN中,四边形ABCD是边长为2的正方形, 平面ABCD, 平面ABCD,且
(I)在棱AB上找一点Q,使QP//平面AMD,并给出证明;
(II)求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值
18.(本小题满分12分)
某高校自主招生选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮 考核,否则即被淘汰.已知某同学能正确 回答第一、二 、三轮的问题的概率分别为 ,且各轮问题能否正确回答互不影响。
(I)求该同学被淘汰的概率;
(II)该同 学在选拔中回答问题的个数记为 ,求随机变量 的分布列与数学期望.
1 9.(本小题满分12分)
设数列 的各项都是正数,且对任意 ,都有 ,其中 为数列. 的前n项和.
(I)求数列 的通项公式;
(II)设 ( 为非零整数, ),试确定 的值,使得对任意 ;都有 成立.
20.(本小题满分13分)
已知椭圆 过点 ,且长轴长等于4.
(I)求椭圆C的方程;
(II) 是椭圆C的两个焦点, O是以 为直径的圆,直线 O相切,并与椭圆C交于不同的两点A,B,若 ,求k的值.
21.(本小题满分14分)
已知函数 的切线方程为 .
(I)求函数 的解析式;
(II)设 ,求证: 上恒成立;
(III)已知 .
2012级高三一模数学(理)参考答案及评分标准
(Ⅱ)∵b=2 ,由 可知, ,
即 , ,8分
∵ , 10分
.
△ ABC面积的最大值为 .12分
17、(Ⅰ)当 时,有 //平面AMD.
证明:∵MD 平面ABCD,NB 平面ABCD,MD//NB,2分
,又 , ,4分
在 中,OP//AM,
又 面AMD,AM 面AMD, // 面AMD.6分
(Ⅱ)解:以DA、DC、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,0,2)N(2,2,1), =(0,-2,2), =(2,0,1), =(0,2,0),7分
设平面CMN的法向量为 =( x,y,z)则 , ,
=(1,-2,-2).9分
又NB 平面ABCD,NB DC,BC DC,DC 平面BNC,平面BNC的法向量为 = =(0,2,0),11分
设所求锐二面角为 ,则 .12分
12分
19、解:(Ⅰ)∵ 时, ,①
当 时, ,②2分
由①-②得,
即 ,∵ ,4分
由已知得,当 时, , .5分
故数列 是首项为1,公差为1的等差数列. . 6分
(Ⅱ)∵ , ,7分
.
要使得 恒成立,只须 . 8分
(1)当 为奇数时,即 恒成立.又 的最小值为 , . 9分
(2)当 为偶数时,即 恒成立.又 的最大值为 , 10分
由(1),(2)得 ,又 且 为整数,11分
对所 有的 ,都有 成立. 12分
10分
11分
∵ , .12分
∵ , , ,得k的值为 .13分
20、解:(Ⅰ)将 代入切线方程得 , ,2分
化简得 . ,4分 ,
解得: . . 6分
(Ⅱ)由已知得 在 上恒成立,
化简 ,即 在 上恒成立.7分
设 , , 8分
∵ ,即 ,9分
在 上单调递增, , 在 上恒成立 .10分
(Ⅲ)∵ , ,由(Ⅱ)知有 , 12分
整理得 ,当 时, . 14分
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