桂林中学2014年秋高三数学10月月考卷（文科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-4页。试卷满分150分。考试时间120分钟。
第I卷(选择题，共60分) s
一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，满分60分)
1.设集合 ， ，则 等于 ( )
A. B. C. D.
2. 已知 为虚数单位，复数 的共轭复数为 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 设 ， ， ，若 ∥ ，则 ( )
A. B. 2 C. 1 D. 0
【解析】∵ ， ， ∥ ， ，
即 ，
又∵ ， ， .
考点：1.平面向量共线的坐标表示;2.三角恒等变形.
4. 设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 ( )
A. 2 B. C. D.
5. 下列命题正确的是
A. 是 的必要不充分条件
B. 对于命题p： ，使得 ，则 ： 均有
C. 若 为假命题，则 均为假命题
D. 命题若 ，则 的否命题为若 则
6. 若将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 轴对称，则 的最小正值是( )
A. B. C. D.
【解析】 ，向右平移 个单位后，得到 的函数图像，∵ 函数图像关于 轴对称，
当 时， ，即 ， ，
当 时， 有最小正值 .
考点：1.三角恒等变形;2.三角函数的图像和性质.
7. 设有算法如图所示：如果输入A=144，B=39，则输出的结果是( )
A.144 B.3 C.0 D.12
【解析】第一轮：当输入 时，则 ，此时 ;第二轮： ，此时 ;第三轮： ，此时 ;第四轮： ，此时 ，所以输出3，故正确答案为B. 【答案】B
8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的
是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()
A.6B.9
C.12 D.18
解析：由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为1312633=9.
9. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
【解析】设 = ，由题知， ，解得A=1,B=0, 49，考点: 等差数列前n项和公式
10. 已知函数 ， .若方程 有两个不相等的实根，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】如图，由已知，函数 ， 的图象有两个公共点，画图可知当直线介于 ， 之间时，符合题意，故选B.
考点：1.函数与方程;2.数形结合的数学思想.
11.函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ，则 的解集为( )
A. B. C. D.
【解析】设 ， ，即 在R上为增函数,又 ， 的解集为 ，即 的解集为 .
考点：利用导数求解不等式.
12.设函数 的定义域为 ,若函数 满足条件：存在 ,使 在 上的值域是 则称 为倍缩函数，若函数 为倍缩函数， 则 的范围是( )
A. B. D.
【解析】 函数 为倍缩函数，且满足存在 ,使 在 上的值域是 , 在 上是增函数;
即 ;
方程 有两个不等的实根，且两根都大于 ;
设 , 有两个不等的实根，且两根都大于 ;
即 解得 ,故选A.【答案】A
考点：1.函数的值域;2.二次方程根的问题.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：(本大题共4小题，每题5分，满分20分)
13. 设 为常数，若点F(5,0)是双曲线 的一个焦点，则 = .
【答案】16.
【解析】直接由点F(5,0)是双曲线 的一个焦点及 可得， ，解得 .
考点：双曲线的简单性质.
14. 已知 满足 ,则 的最大值为 .
【解析】画出可行域如图所示，目标函数 过点B处时取得最大值，最大值为3. 【答案】3
考点：线性规划.
15. 函数 的部分图象如右图所示，设 是图象的最高点， 是图象与 轴的交点，则 ( )
【解析】过 作 的垂线，垂足为 ，∵ ， ， ， ， ， ，
.
考点：1.三角函数的周期;2.两角和的正切公式.
16. 已知函数 ， .若不等式 在
上恒成立，则实数m的取值范围为
【解析】
∵ ， ， ，
， .
∵不等式 在 上恒成立， 在 上恒成立，
即 在 上恒成立.
因为 在 上的最小值是2，最大值是3， .
三、解答题：(本大题共6小题，满分70分)
17.(本题满分10分)
在△ABC中，内角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求证： 成等比数列;
(2)若 ，求△ 的面积S.
解：(1)由已知得： ，
，
，
再由正弦定理可得： ，
所以 成等比数列. 6分
(2)若 ，则 ，
，
，
△ 的面积 . 12分
考点：(1)证明三个数成等比数列;(2)求三角形的面积.
18.(本题满分12分)
已知数列 的前n项和 (其中c，k为常数)，且 2=4， 6=8 3
(Ⅰ)求 ;
(Ⅱ)求数列 的前n项和Tn.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
【解析】
试题分析：(Ⅰ)先根据前n项和求出数列的通项表达式;再结合a2=4，a6=8a3求出c，k，即可求出数列的通项;
(Ⅱ)由(1)知数列 是等比数列,从而数列 就是由一等差数列与一等比数列对应项的积构成的新数列,所以其前n项和Tn,采用乘公比错位相减法求和即可.
试题解析：(Ⅰ)当 时，
则 ，
，c=2.∵a2=4，即 ，解得k=2， (n1)
当n=1时， 综上所述
(Ⅱ) ，则
(1) (2)得
考点：1.等比数列的通项公式;2.数列的求和.
19.(本题满分12分)
如图，菱形ABCD的边长为4，BAD=60，ACBD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=2 .
(1)求证：OM∥平面ABD;
(2)求证：平面DOM平面ABC;
(3)求三棱锥B﹣DOM的体积.
【解析】(1)利用三角形中位线定理，证出OM∥AB，结合线面平行判定定理，即可证出OM∥平面ABD.
(2)根据题中数据，算出 ，BD=2， ，AB=2，从而得到 ，可得ODOM.结合ODAC利用线面垂直的判定定理，证出OD平面ABC，从而证出平面DOM平面ABC.
(3)由(2)得到OD为三棱锥D-BOM的高.算出△BOM的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥D-BOM的体积，即可得到三棱锥B-DOM的体积.
试题解析：(1)∵O为AC的中点，M为BC的中点，OM∥AB.
又∵OM平面ABD，AB平面ABD，OM∥平面ABD.
(2)∵在菱形ABCD中，ODAC，在三棱锥B-ACD中，ODAC.
在菱形ABCD中，AB=AD=4，BAD=60，可得BD=4.
∵O为BD的中点，DO= ，BD=2.∵O为AC的中点，M为BC的中点，OM= ，AB=2.
因此， ，可得ODOM.∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，OD平面ABC.
∵OD平面DOM，平面DOM平面ABC.
(3)由(2)得，OD平面BOM，所以OD是三棱锥D-BOM的高.
由OD=2， ，
所以 .
考点：线面平行问题;面面垂直问题;三棱锥的体积.
20.(本题满分12分)
对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 名学生作为样本，得到这 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
(Ⅰ)求出表中 及图中 的值;
(Ⅱ)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 内的人数;
(Ⅲ)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间 内的概率.
【答案】(Ⅰ) ,p=0.25,a=0.12; (II) 人; (III) .
【解析】
试题分析：(I)根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值.
(II)根据该校高三学生有240人，分组[10，15)内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人.
(III)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设出在区间[20，25)内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30)内的人为b1，b2，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率.
试题解析：(Ⅰ)由分组 内的频数是4，频率是0.1知， ，所以
所以 ， .
所以
(Ⅱ)因为该校高三学生有240人，分组 内的频率是 ，
所以估计在此区间内的人数为 人.
(Ⅲ)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有 人，
设在区间 内的人为 ，在区间 内的人为 .
则任选 人共有
，共15种情况，
而两人都在 内只能是 一种，所以所求概率为
考点：1.频率分布表与频率分布直方图;2.等可能事件的概率.
21.(本题满分12分)
设函数 ， .
(1)当 ( 为自然对数的底数)时，求 的极小值;
(2)讨论函数 零点的个数.
【答案】(1)极小值 ;
(2)①当 时， 无零点，
②当 或 时， 有且仅有 个零点，
③当 时， 有两个零点.
【解析】
试题分析：(1)要求 的极小值，可以通过判断其单调性从而求得其极小值，对 求导，可知 ，再通过列表即可得当 时， 取得极小值 ;(2)令 ，可得 ，因此要判断函数 的零点个数，可通过画出函数 的草图来判断，同样可以通过求导判断函数 的单调性来画出函数图象的草图： ，通过列表可得到 的单调性，作出 的图象，进而可得
①当 时， 无零点，②当 或 时， 有且仅有 个零点，
③当 时， 有两个零点.
试题解析：(1)当 时， ，其定义域为 ，1分
，2分
令 ， ，3分
极小值
故当 时， 取得极小值 ; 6分
(2) ，其定义域为 ， 7分
令 ，得 ，8分
设 ，其定义域为 .则 的零点为 与 的交点， 9分
，
极大值
故当 时， 取得最大值 ，11分
作出 的图象，可得
①当 时， 无零点， 12分
②当 或 时， 有且仅有 个零点，13分
③当 时， 有两个零点. 14分.
考点：导数的运用.
22.(本题满分12分)
已知椭圆C： + =1(a0)的离心率是 ，且点P(1， )在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点D(0，2)的直线l与椭圆C交于不同的两点E，F，试求△OEF面积的取值范围(O为坐标原点).
【答案】(1) ;(2)
【解析】
试题分析：⑴由 得 ，椭圆方程为 ，又点 在椭圆上,所以 解得 因此椭圆方程为 ;(2) 由题意知直线 的斜率存在，设 的方程为 ,代入 得： ，由 ，解得
设 ， ，则 ，
令 ,则 ， ，所以 .
试题解析：⑴,∵
∵点 在椭圆上,
(2) 由题意知直线 的斜率存在，设 的方程为 ,代入 得：
由 ，解得
设 ， ，则
令 ,所以
所以
考点：1.椭圆的方程;2.用代数法研究直线与椭圆相交;3.基本不等式
桂林中学2015届高三10月考试
高三文科数学答案
一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，满分60分)
题号123456789101112
答案DDABBCBCBBBA
二、填空题：(本大题共4小题，每题5分，满分20分)
13、 16 14、 3 15 8 16.
3.【解析】∵ ， ， ∥ ， ，
即 ，
又∵ ， ， .
考点：1.平面向量共线的坐标表示;2.三角恒等变形.
6.【解析】 ，向右平移 个单位后，得到 的函数图像，∵ 函数图像关于 轴对称，
当 时， ，即 ， ，
当 时， 有最小正值 .
考点：1.三角恒等变形;2.三角函数的图像和性质.
7.【解析】第一轮：当输入 时，则 ，此时 ;
第二轮： ，此时 ;第三轮： ，此时 ;
第四轮： ，此时 ，所以输出3，故正确答案为B.
8. 解析：由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为1312633=9.
9. 【解析】设 = ，由题知， ，
解得A=1,B=0, 49，
10. 【解析】如图，由已知，函数 ，
的图象有两个公共点，画图可知
当直线介于 ， 之间时，
符合题意，故选B.
考点：1.函数与方程;2.数形结合的数学思想.
11.【解析】设 ， ，即 在R上为增函数,又 ， 的解集为 ，即 的解集为 .
考点：利用导数求解不等式.
12.【解析】 函数 为倍缩函数，且满足存在 ,使 在 上的值域是 , 在 上是增函数;
即 ;
方程 有两个不等的实根，且两根都大于 ;
设 , 有两个不等的实根，且两根都大于 ;
即 解得 , 故选A.
考点：1.函数的值域;2.二次方程根的问题.
13. 【解析】直接由点F(5,0)是双曲线 的一个焦点及 可得， ，解得 .
14.解:画出可行域如图所示，
目标函数
过点B处时取得最大值，最大值为3.
15. 解:过 作 的垂线，垂足为 ，
∵ ， ， ， ，
， ，
.
16. 解:
∵ ， ， ，
， .
∵不等式 在 上恒成立，
在 上恒成立，
即 在 上恒成立.
因为 在 上的最小值是2，最大值是3， .
17.(本题满分10分)
解：(1)由已知得： ，
， ，
再由正弦定理可得： ，所以 成等比数列. 6分
(2)若 ，则 ，
， ，
△ 的面积 . 12分
18.(本题满分12分)
解:(Ⅰ)当 时，
则 , ，
， c=2.
∵a2=4，即 ，解得k=2， (n1)
当n=1时， 综上所述
(Ⅱ) ，则
(1) (2)得
考点：1.等比数列的通项公式;2.数列的求和.
19.(本题满分12分)
解：(1)∵O为AC的中点，M为BC的中点，OM∥AB.
又∵OM平面ABD，AB平面ABD，OM∥平面ABD.
(2)∵在菱形ABCD中，ODAC，在三棱锥B-ACD中，ODAC.
在菱形ABCD中，AB=AD=4，BAD=60，可得BD=4.
∵O为BD的中点，DO= ，BD=2.∵O为AC的中点，M为BC的中点，OM= ，AB=2.
因此， ，可得ODOM.
∵AC、OM是平面ABC内的相交直线， OD平面ABC.
∵OD平面DOM，平面DOM平面ABC.
(3)由(2)得，OD平面BOM，所以OD是三棱锥D-BOM的高.
由OD=2， ，
所以 .
考点：线面平行问题;面面垂直问题;三棱锥的体积.
20.(本题满分12分)
解：(Ⅰ)由分组 内的频数是4，频率是0.1知， ，所以
所以 ， .
所以
(Ⅱ)因为该校高三学生有240人，分组 内的频率是 ，
所以估计在此区间内的人数为 人.
(Ⅲ)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有 人，
设在区间 内的人为 ，在区间 内的人为 .
则任选 人共有
，共15种情况，
而两人都在 内只能是 一种，所以所求概率为
考点：1.频率分布表与频率分布直方图;2.等可能事件的概率.
21.(本题满分12分)
解：(1)当 时， ，其定义域为 ，
， 2分
令 ， ， 3分
极小值
故当 时， 取得极小值 ;
(2) ，其定义域为 ，
令 ，得 ， 8分
设 ，其定义域为 .则 的零点为 与 的交点, ，
极大值
故当 时， 取得最大值 ， 作出 的图象，可得
①当 时， 无零点，
②当 或 时， 有且仅有 个零点，
③当 时， 有两个零点. 12分.
22.(本题满分12分)
解: ⑴,∵
∵点 在椭圆上,
(2) 由题意知直线 的斜率存在，
设 的方程为 ,代入 得：
由 ，解得
设 ， ，则
令 ,所以
所以
考点：1.椭圆的方程;2.用代数法研究直线与椭圆相交;3.基本不等式
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