高中最重要的阶段,大家一定要把握好高中,多做题,多练习,为高考奋战,小编为大家整理了2015届高三数学第二次调研试题,希望对大家有帮助。
本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将答题卡一并交回.
参考公式:①如果事件 互斥,则
②如果事件 相互独立,则
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 请在答题卡上填涂相应选项.
1.设集合 ,集合 ,则 ()
A. B. C. D.
2. 复数 ( 为虚数单位)在复平面上对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.双曲线 的实轴长是()
A.2 B.22 C.4 D.42
4.设向量 , ,则下列结论中正确的是()
A. B. C. D. 与 垂直
5.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为 ,众数为 ,平均值为 ,则()
A. B.
C. D.
6. 设平面 与平面 相交于直线 ,直线 在平面 内,直线 在平面 内,且 ,则 是 的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知 , , 满足约束条件 ,若 的最小值为1,则 ()
A. B. C. D.
8. 某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 与该班人数 之间的函数关系用取整函数 ( 表示不大于 的最大整数)可以表示为()
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分.每小题5分,满分30分)
(一)必做题:第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答.
9.已知 ,则不等式 的解集为 .
10.曲线 在点 处的切线方程为 .
11. 展开式中的常数项为 .
12.锐角 中,角 所对的边长分别为 ,若 ,则角 等于 .
13.在正项等比数列 中, , ,
则满足 的最大正整数 的值为________.
(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分.
14.(极坐标与参数方程)已知圆的极坐标方程为 ,圆心为 ,点 的极坐标为 ,则 ________.
15.(几何证明选讲)如图所示,⊙ 的两条切线 和 相交于点 ,与⊙ 相切于 两点, 是⊙ 上的一点,若 ,则 ________.(用角度表示)
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本题满分12分)
设向量 , , .
(1)若 ,求 的值;
(2)设函数 ,求 的最大值.
17.(本题满分12分)
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为 , ,, ,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求重量超过 克的产品数量;
(2)在上述抽取的 件产品中任取 件,设 为重量超过 克的产品数量,求 的分布列;
(3)从该流水线上任取 件产品,求恰有 件产品的重量超过 克的概率.
18.(本题满分14分)
如图,四棱锥 中,底面 为平行四边形, , , , 底面 .
(1)证明: ;
(2)若 ,求二面角 的余弦值.
19.(本题满分 分)
设数列 的前 项和为 ,已知 , , .
(1)求数列 的通项公式;
(2)证明:对一切正整数 ,有 .
20.(本题满分14分)
如图,已知椭圆 : ,其左右焦点为 及 ,过点 的直线交椭圆 于 两点,线段 的中点为 , 的中垂线与 轴和 轴分别交于 两点,且 、 、 构成等差数列.
(1)求椭圆 的方程;
(2)记△ 的面积为 ,△ ( 为原点)的面积为 .试问:是否存在直线 ,使得 ?说明理由.
21.(本题满分 分)
已知 ,函数 .( 的图像连续不断)
(1)求 的单调区间;
(2)当 时,证明:存在 ,使 ;
(3)若存在均属于区间 的 ,且 ,使 ,
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