桂林中学14年秋高三数学10月月考卷（理科）
说明: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
2.请在答题卷上答题(在本试卷上答题无效)
第Ⅰ卷选择题
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 ， ，则 等于
A B C D
2.已知复数 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
3.某班有60名学生，一次考试后数学成绩～N(110，102)，若
P(100110)=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( ).
A.10 B.9 C.8 D.7
已知双曲线C： ﹣ =1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的
方程为( )A. ﹣ =1 B. ﹣ =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1
5.设有算法如图所示：如果输入A=144，B=39，则输出的结果是( )
A.144 B.3 C.0 D.12
6.设函数 ，且其图像相邻的两条对称轴为 ，则( )
A. 的最小正周期为 ，且在 上为增函数
B. 的最小正周期为 ，且在 上为减函数
C. 的最小正周期为 ,且在 上为增函数
D. 的最小正周期为 ，且在 上为减函数
7.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3，
AC=4，ABAC，AA1=12，则球O的半径为()
A. B. C. D.
8. 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是( ) A. B. C. D.
若 则 的值为( ) A.2 B.0 C.-1 D.-2
10.设 ， ， 则( )
A. B. C. D.
11.若函数 的图象在 处的切线与圆
相切，则 的最大值是( )
A.4 B. C.2 D.
设函数 的定义域为 ,若函数 满足条件：存在 ,使 在 上的值域是 则称 为倍缩函数，若函数 为倍缩函数，则t的范围是( )
A. B. D.
第II卷非选择题
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知 满足 ,则 的最大值为.
14.平面向量 ， ， ( )，且 与 的夹角等于
与 的夹角，则 .
15.函数 的部分图象如右图所示，设 是图象的最高点， 是图象与 轴的交点，则 _________.
16.若集合 且下列四个关系：
① ;② ;③ ;④ 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 的个数是_______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.
17.(本小题满分10分)在 中，角 所对的边分别为a,b,c，
且
(1)求函数 的最大值;
(2)若 ，求 的值.
18.(本小题满分12分)
已知函数 ，数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上.
(1)求数列 的通项公式 ;
(2)令 ，证明： .
19.(本小题满分12分)
如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AD//CD， ，FC 平面ABCD， AE BD，CB = CD = CF.
(Ⅰ)求证：平面ABCD 平面AED;
(Ⅱ)直线AF与面BDF所成角的余弦值
20.(本小题满分12分)某次月考从甲、乙两班中各抽取20个物理成绩，整理数据得到茎叶图如图所示，根据茎叶图解决下列问题.
(1)分别指出甲乙两班物理样本成绩的中位数;
(2)分别求甲乙两班物理样板成绩的平均值;
(3)定义成绩在80分以上为优秀，现从甲乙两班物理样本成绩中有放回地各随机抽取两次，每次抽取1个成绩，设表示抽出的成绩中优秀的个数，求的分布列及数学期望.
21.(本小题满分12分)椭圆C： (a0)的离心率为 ，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为 的直线l交C于A、B两点.当m=0时，
(1)求C的方程; (2)证明： 为定值.
22.(本小题满分12分)已知函数 .
(1)若函数 在区间 上存在极值点，求实数a的取值范围;
(2)如果当 时，不等式 恒成立，求实数k的取值范围;
2014-2015学年度10月月数学(理)答案
选择题：
题号123456789101112
答案DBBABDCDCCDA
填空题：(13) 3 (14) 2 (15) 8 (16) 6
1.【解析】M= ，N= ，故 = 【答案】D
2.【解析】首先 ，然后由等比数列求和公式得： ，【答案】B
3.【解析】由正态分布的性质，得 ,
;所以 ;
则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为 .【答案】B.
4.【解析】双曲线C： ﹣ =1的渐近线方程为y= ,
∵双曲线C： ﹣ =1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上 ,
2c=10，a=2b , ∵c2=a2+b2 , a2=20，b2=5 ,
C的方程为 ﹣ =1. 故选A.【答案】A
5.【解析】第一轮：当输入 时，则 ，此时 ;第二轮： ，此时 ;第三轮： ，此时 ;第四轮： ，此时 ，所以输出3，故正确答案为B. 【答案】B
6.【解析】因为 = ，由其图像相邻的两条对称轴为 知， 且 ，解得 =2， ，所以 ，
其的最小正周期为 ，且在 上为减函数，故选D.【答案】D
7.【解析】因为直三棱柱中，AB=3，AC=4，AA1=12，ABAC，所以BC=5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径.取BC中点D，则OD底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R= =13，即R= 【答案】C
8.【解析】由三视图知该几何体是底面为两直角边分别为 ，1的直角三角形，高为 直三棱柱，其体积为 = ，故选D. 【答案】D
9.【解析】此题为赋值型的题，先令 ，解得 ，结合要求的式子的形式可令 ，就出现了 ，所以 =-1.【答案】C
10.【解析】由 ， ，
， ，故 . 【答案】C
11.【解析】 ,因此切线的斜率 ，切点 ，切线方程 ，即 ，由于与圆相切 ， ，解得 【答案】D
12.【解析】 函数 为倍缩函数，且满足存在 ,
使 在 上的值域是 , 在 上是增函数;
即 ;
方程 有两个不等的实根，且两根都大于 ;
设 , 有两个不等的实根，且两根都大于 ;
即 解得 ,故选A.【答案】A
13.【解析】画出可行域如图所示，目标函数 过点B处时取得最大值，最大值为3. 【答案】3
14.【解析】由题意得： ，
法二、由于OA，OB关于直线 对称，故点C必在直线 上，由此可得
15.【解析】过 作 的垂线，垂足为 ，∵ ， ， ， ， ， ，
.
16.【解析】由于题意是只有一个是正确的所以①不成立,否则②成立.即可得 .由 即 .可得 .两种情况.由 .所以有一种情况.由 即 .可得 .共三种情况.综上共6种.
17. 已知函数 ，数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上.(1)求数列 的通项公式 ;
(2)令 ，证明： .
【解析】(1) 点 在 的图象上， ，
当 时， ;
当 时， 适合上式， ;
(2)证明：由 ，
，又 ，
， 成立.
18.在 中，角 所对的边分别为a,b,c，且
(1)求函数 的最大值;(2)若 ，求 的值.
【解析】
(1)
当 ，即当 时， 取得最大值，且最大值为
(2)由题意得
又由(1)知 .
由 ，得 所以 的值为 .
19.(本小题满分12分)如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AD//CD， ，FC 平面ABCD， AE BD，CB = CD = CF.
(Ⅰ)求证：平面ABCD 平面AED;
(Ⅱ)直线AF与面BDF所成角的余弦值
【解析】 (Ⅰ)∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，DAB=60，
ADC=BCD=120，又CB=CD，CDB=30，
ADB=90，ADBD，又AEBD，且AEAD=A，AE，AD平面AED，
BD平面AED，平面ABCD平面AED.
(Ⅱ)连结AC，由(Ⅰ)知ADBD，ACBC，
又FC平面ABCD，CA，CB，CF两两垂直，
以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，设CB=1，
则A( ，0，0)，B(0，1，0)，D( ， ，0)，F(0，0，1)，
=( ， ，0)， ==(0，1，1)， =(- ，0，1)，
设平面BDF的一个法向量为 =(x，y，z)，则 ，
取z=1，则 =( ，1，1)，所以 = ，
直线AF与面BDF所成角的余弦值为 . (12分)
20.某次月考从甲、乙两班中各抽取20个物理成绩，整理数据得到茎叶图如图所示，根据茎叶图解决下列问题.
(1)分别指出甲乙两班物理样本成绩的中位数;
(2)分别求甲乙两班物理样板成绩的平均值;
(3)定义成绩在80分以上为优秀，现从甲乙两班物理样本成绩中有放回地各随机抽取两次，每次抽取1个成绩，设表示抽出的成绩中优秀的个数，求的分布列及数学期望.
【解析】(1)甲乙两班物理样本成绩的中位数分别是72，70;
(2)
甲乙两班物理样本成绩的平均值分别是71分、70分
(3)的可能取值为0、1、2、3、4，甲、乙两班各有5个优秀成绩，故从甲班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率为 ，从乙班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率也为
，
，
的分布列为
01234
P
21.椭圆C： (a0)的离心率为 ，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为 的直线l交C于A、B两点.当m=0时，
(1)求C的方程; (2)证明： 为定值.
【解析】(Ⅰ)因为离心率为 ，所以 = .
当m=0时，l的方程为y= x，代入 并整理得x2= .
设A(x0，y0)，则B(-x0，-y0)，
=- - =- =- .
又因为 =- ，所以a2=25，b2=16，椭圆C的方程为 .
(Ⅱ)l的方程为x= y+m，代入 并整理得25y2+20my+8(m2-25)=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|PA|2=(x1-m)2+ = ，同理|PB|2= . 8分
则|PA|2+|PB|2= ( + )= [(y1+y2)2-2y1y2]
= [(- )2- ]=41.
所以，|PA|2+|PB|2是定值. 12分
22.已知函数 .
(1)若函数 在区间 上存在极值点，求实数a的取值范围;
(2)如果当 时，不等式 恒成立，求实数k的取值范围;
【解析】(1)当x0时， ，有
;
所以 在(0，1)上单调递增，在 上单调递减，函数 在 处取得唯一的极值.由题意 ，且 ，解得所求实数 的取值范围为 .
(2)当 时，
令 ，由题意， 在 上恒成立
令 ，则 ，当且仅当 时取等号.
所以 在 上单调递增， .
因此， 在 上单调递增， .所以 .
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