西江中学2015届高三数学10月月考试题（理科）
参考公式：
独立性检验：设随机变量 (其中 )是由观测样本的22列联表所得到的随机变量，则 的计算值 对应的概率 如下表所示：
P(K20.500. 400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
选择题：
1.设全集 ，则
A.{1} B.{l,2} C.{0,1,2} D.{一1,0,1,2}
2.复数 满足 ,则在复平面上复数 对应的点位( )
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
3. 下列函数中，既是奇函数又是在定义域上是减函数的为( ).
A. B. C. D.
4. 在 中，若 ，则 ( ).
A. B. C. D.
5.如图右所示，该程序运行后输出的结果为 ()
A.14B.16 C.18 D.64
6.如图1， 、 分别是正方体 中 、 上的动点(不含端点)，则四边形 的俯视图可能是
A. B. C. D.
7.现有16张不同卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法为( )
A.232种 B.252种 C.472种 D.484种
8.在区间 上随机取两个数 ，其中满足 的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题：
9. 不等式 的解集是 .
10. .
11. 已知平面向量 ， ，若 ，则实数 .
12. 若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是 .
13. 曲线 在点 处的切线方程为 .
选做(两题任选做一题)
14. 以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点 的极坐标为 ，曲线 的参数方程为 ，则曲线 上的点B与点A距离的最大值为 .
15. 如图,在 中,斜边 ,直角边 ,如果
以C为圆心的圆与AB相切于 ,则 的半径长为 。
解答题：(本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)
16. (本小题满分12分)已知 、 都是锐角， ， ，
⑴求 和 的值;
⑵求 和 的值。
17. (本小题12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，得到如下列联表：
文艺节目新闻节目总计
20至40岁401656
大于40岁202444
总计6040100
⑴用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应抽取几名?
⑵是否有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关?说明你的理由;
18. (本小题满分14分)某校兴趣小组进行了一项娱乐与年龄关系的调查，对 15～65岁的人群随机抽取1000人的样本，进行了一次是否是电影明星追星族调查，得到如下各年龄段样本人数频率分布直方图和追星族统计表：
各年龄段样本人数频率分布直方图 追星族统计表
组数分组追星族人数占本组频率
一[15，25)a0.75
二[25，35)2000.40
三[35，45)50.1
四[45，55)3b
五[55，65]20.1
(1)求 的值.
(2)设从45岁到65岁的人群中，随机抽取2人，用样本数据估计总体， 表示其中追星族的人数，求 分布列、期望和方差.
19.(本小题14分)如图，在长方体 中， = =1， ，点E是线段AB中点.
(1)求证： ;
(2)求二面角 的大小的余弦值;
(3)求 点到平面 的距离.
20.(本小题满分14分)焦点在x轴的椭圆 ，过 右顶点 的直线 与曲线 相切，交 于 二点.
(1)若 的离心率为 ，求 的方程.
(2)求 取得最小值时 的方程.
21.(本小题满分14分)21(本小题满分14分)
已知函数 ，曲线 经过点 ，且在点 处的切线为 ： .
⑴ 求常数 ， 的值;
⑵ 求证：曲线 和直线 只有一个公共点;
⑶ 是否存在常数 ，使得 ， 恒成立?若存在，求常数 的取值范围;若不存在，简要说明理由.
2015届西江中学高三理数10月考答案
一、ADCB，ABCB
二、9. 10. 11.
12.0 13. 14.5 15.
三、16.解：(1)⑴因为 都是锐角，所以 ， -----------1分
(-----------2分)
(-----------4分)
(-----------6分)
⑵因为 都是锐角，所以 ， (-----------7分)
= (-----------9分)
(10分)
(-----------11分)
(-----------12分)
17.⑴应抽取大于40岁的观众人数为 (名)4分(列式4分，计算1分)
⑵根据列联表中的数据，得
10分(列式2分，计算2分，判断2分)
所以，有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关12分
18.解： (1).由题设知[15，25)这组人数为0.04101000=400，1分
故a=0.75400=300 2分
[45，55)这组人数为0.003101000=30，故b= 3分
综上，a=300，b=0.1. 4分
(2).由[45，65]范围内的样本数据知，抽到追星族的概率为
～B(2， ) 6分
故 的分布列是
012
p0.810.180.01
8分
的期望是 10分
的方差是 12分
19. (1) 证明： 面 ， 面
所以， 1分
中， ，
同理： ，又 ，
3分
所以， 面 4分
又 面
所以， 5分
(2)解法一 由(1)证可知 是所求二面角 的平面角6分
在 中， ， ;
故， 8分
即二面角 的大小的余弦值为 9分
解法二：利用向量法
设平面 的法向量为 ，
由(1)得 ，
且
解得： ,即 ;7分
又平面 的法向量为 ，
所以，二面角 的余弦值为 . 9分
(3))解法一： ， ， ，
10分
又 ， ， ，
(11分)
设 点到平面 的距离为 ，则 ，
解得 ，即 点到平面 的距离为 . (14分)
解法二：利用向量法
由(1) (2)知 ，平面 的法向量为
故， 点到平面 的距离为
20.解：解：(1).由 的离心率 得 2分
3分
(2). 与 方程联立消 得
由 与 相切知 ，由 知 5分
与 方程联立消 得 ① 6分
设点
交 于 二点， 、 是①的二根
，故 8分
10分
令 ，则
令 ，则 在 上恒成立
故 在 上单减 12分
故 即 ， 时 取得最小值，则 取得最小值
此时 14分
21. 解：21解：⑴ 1分，
依题意， 即 3分，
解得 5分。
⑵记 ，
则 6分，
当 时， ;当 时， ;当 时， 8分，所以 ，等号当且仅当 时成立，即 ，等号当且仅当 时成立，曲线 和直线 只有一个公共点9分。
⑶ 时， ，所以 恒成立当且仅当
10分，
记 ， ， 11分，
由 得 (舍去)， 12分
当 时， ;当 时， 13分，
所以 在区间 上的最大值为 ，常数 的取值范围为 14分.
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