培正中学2015届高三数学第二次月考试卷(理科)
一、选择题(每小题5分，满分40分)
1.对于集合A={2，4，6}，若a A，则6-a A，那么a的值是
A、2B、4C、6D、2或4
2.设 是虚数单位，则 是复数 为纯虚数的 条件.
A、充分不必要B、必要不充分C、充要D、既不充分也不必要
3.若向量 ，则
A、 B、 C、 D、
4. 某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=
A、45B、54C、90D、126
5.已知a0，x，y满足条件 ，若 的最小值为1，则a=
A、1B、2C、 D、
6. 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
A、 B、
C、 共面D、
7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
A、 B、 C、 D、
8.若 ，则 的最小值为( )
A、7B、 C、 D、5
二、填空题：(每小题5分，满分30分)
(一)必做题(9～13题)
9.不等式 的解集为 .
10.从1 ,2 ,3 ,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率为
11.已知 是递增等比数列， ，则此数列的公比q= .
12.若命题存在 ，使 是假命题，则实数m的取值范围为 .
13. 已知实数a 0，函数 若 ，则a的值为 .
(二)选做题(14～15题，考生从中选做一题，如果两题都做了，只批改第14题)
14. 在极坐标系 中，曲线 与 的交点的极坐标为 .
15. 如图1所示，AB是圆O的直径，点C在圆O上，
延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交
AD于E.若AB=6，ED=2，则BC= .
三、解答题：(共6小题，满分80分)
16.(本小题12分)
已知向量 ， ，设函数 .
(1) 求 的最小正周期; (2) 求 在 上的最大值和最小值.
17. (本小题13分) 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图2所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].
(1) 求图中a的值;
(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应的分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)
x:y1:12:13:44:5
18. (本小题14分) 如图3所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中ADAB，CD∥AB,AB=4,CD=2,侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点.
(1) 求证：DE∥平面PBC;
(2) 求三棱锥A-PBC的体积.
19.(本题13分) 已知a为实常数， 是定义在R上的奇函数，当x0时， ，若 对一切 成立，求实数a的取值范围。
20.(本题14分)数列 的前n项和记为 .
(1) 求 的通项公式;
(2) 等差数列 的各项为正，其前n项和为Tn，且T3 =15，又 ， ， 成等比数列，求Tn
21.(本题14分) 设 .
(1) 若 在 上是单调减函数，求实数a的取值范围.
(2) 当 时， 在[1,4]上的最小值为 ，求 在该区间的最大值.
参考答案：
一、选择题：1、D;2、B;3、A;4、C;5、D;6、B;7、C;8、A
二、填空题：9、 ; 10、 ; 11、 ; 12、 ;
13、 ; 14、 ; 15、
三、解答题：
16. (2013 陕西，12分)
(1) 函数 的最小正周期 .
.
由正弦函数的性质，知当 时， 取得最大值为1.
而当 时， 取得最小值为 .
17. (2012 广东，13分)
解：(1) 由频率分布直方图可知： ，所以a=0.005
(2) 该100名学生的语文成绩的平均分约为：
(3) 由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：
分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)
x5403020
x:y1:12:13:44:5
y5204025
于是数学成绩在[50,90)之外的人数为100-(5+20+40+25)=10
18. (本小题14分)
(1)证明：(方法一)：取PB的中点F，连接EF，CF.
∵点E，F分别是PA，PB的中点
EF//AB，且
又CD//AB，且
EF//CD,且EF=CD
四边形CDEF是平行四边形，DE//CF.
又
DE//平面PBC.
(方法二)：取AB的中点F，连接DF，EF.
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，
所以BF∥CD，且BF=CD.
所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC.
在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB.
又DFEF=F，PBBC=B，
所以平面DEF∥平面PBC.
因为DE 平面DEF，所以DE∥平面PBC.
(方法三)：
(2) 取AD的中点O，连接PO.
在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以POAD，PO=
又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，
所以PO平面ABCD，所以PO就是三棱锥P-ABC的高.
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，ABAD，
所以 .
故 .
19. (本题14分)
解： . .
又 是定义在R上的奇函数.
，∵ ，函数 的最小值为
∵ 对一切 成立
即
故所求a的取值范围为
20. (本题14分)
解：(1) 由 ，可得 ，
两式相减得 ，则 .
又 ， .
故 是首项为1，公比为3的等比数列， .
(2) 设 的公差为d.
由T3 =15，即 ，可得 ，
故 ，又 ，
由 ， ， 成等比数列可得
解得d=2或d=-10
∵等差数列的各项为正，d0，
d=2，b1=3,
21.(本题14分)
解：(1) 由 .
当 时， 的最大值为 .
因为 在 上是单调减函数，则 在 上成立，
所以 ，解得 ，故所求实数a的取值范围为 .
(2) 令 .
因为当 时 ，当 时
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
当 时，有 ，所以 在[1,4]上的最大值为 ，
又 .
所以 在[1,4]上的最小值为 .
得 ，从而 在[1,4]上的最大值为 .
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