山西四校2015届高三数学上学期第一次联考试卷（理科）
(满分150分，考试时间120分)
一、选择题(512=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)
1. 设全集为R，集合 ，则
A.[2，2] B. C. D.
2. 已知 是虚数单位，则复数 的值为
A. B. C. D.
3. 执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入 的值为
A.2 B.
C.-2或-3 D.2或-3
4. 实数 满足 ，则 的最大值是
A.-1 B.0 C.3 D.4
5. 二项式 展开式中的常数项是
A.180 B.90 C.45 D.360
6. 三棱锥的三视图如图，正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 的离心率为 ，则此双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
8. 等比数列 的前 项和为 ，若 ，则公比 =
A.-2 B.2 C.3 D.-3
9. 点 均在同一球面上，且 、 、 两两垂直，且 ,则该球的表面积为
A. B. C. D.
10. 若 满足 ， 满足 ，函数 ，
则关于 的方程 解的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
11. 抛物线 的焦点为 ， 为抛物线 上一点，若 的外接圆与抛物线 的准线相切( 为坐标原点)，且外接圆的面积为9，则
A.2 B.4 C.6 D.8
12. 已知函数 是定义在R上的偶函数，对于任意 都 成立;当 ，且 时，都有 .给出下列四个命题：
① ;②直线 是函数 图象的一条对称轴;③函数 在 上为增函数;④函数 在 上有335个零点.
其中正确命题的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)
13. 已知 ， ， ，且 与 垂直，则实数 的值为 ▲ .
14. 数列 的前 项和记为 ， ， ，则 的通项公式
为 ▲ .
15.函数 的最小值是 ▲ .
16.在等比数列 中， ，则能使不等式
成立的最大正整数 是 ▲ .
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17. (本小题满分12分)
在 中，角 ， , 的对边分别是 ， ， ，其面积为 ，且 .
(1)求 ;
(2)若 ， ,求 .
18.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥 中， , ， , , 分别为 的中点.
(1)证明： ;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
19. (本小题满分12分)
为迎接高一新生报到，学校向高三甲、乙、丙、丁四个实验班征召志愿者.统计如下：
班 级甲乙丙丁
志愿者人数45603015
为了更进一步了解志愿者的来源，采用分层抽样的方法从上述四个班的志愿者中随机抽取50名参加问卷调查.
(1)从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名，求这两名来自同一个班级的概率;
(2)在参加问卷调查的50名志愿者中，从来自甲、丙两个班级的志愿者中随机抽取两名，用 表示抽得甲班志愿者的人数，求 的分布列和数学期望.
20. (本小题满分12分)
已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切. 是椭圆 的右顶点与上顶点，直线 与椭圆相交于 两点.
(1)求椭圆 的方程;
(2)当四边形 面积取最大值时，求 的值.
21. (本小题满分12分)
已知函数 .
(1)设函数 在区间 上不单调，求实数 的取值范围;
(2)若 ,且 对 恒成立，求 的最大值.
请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲
如图， 内接于直径为 的圆 ，过点 作圆 的切线交 的延长线于点 ， 的平分线分别交 和圆 于点 ，若 .
(1)求证： ;
(2)求 的值.
23.(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程
已知直线 ： ( 为参数，为 的倾斜角)，以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 为： .
(1)若直线 与曲线 相切，求 的值;
(2)设曲线 上任意一点的直角坐标为 ，求 的取值范围.
24.(本小题满分10分)选修45：不等式选讲
已知正实数 满足： .
(1)求 的最小值 ;
(2)设函数 ，对于(1)中求得的 ，是否存在实数 ，使得 成立，说明理由.
2015届高三年级第一次四校联考理科数学参考答案
一、选择题(每小题5分，共60分) 1-5：CDDCA 6-10：BCABC 11-12：BB
二、填空题(每小题5分，共20分) 13. 14. 15. 16. 7
三、解答题：
17 (本小题满分12分)
解：(1)由已知得： 4分
5分
由A是内角， 6分
(2)由 得 7分
10分
由正弦定理得： 12分
18 (本小题满分12分)
解：(1)易知AB,AD，A P两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB,AD, AP所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系.设 ，则相关各点的坐标为： ， ， ， , , . 2分
从而 , = ， = .
因为 ，所以 = .
解得 或 (舍去). 4分
于是 =( ，1，-1)， =( ，1,0).
因为 =-1+1+0=0，所以 ，即 . 6分
(2)由(1)知， =( ,1,-2)， =(0，2,-2).
设 是平面PCD的一个法向量，则
即
令 ，则 =(1， ， ). 9分
设直线EF与平面PCD所成角为 ，则
=| 〈 ， 〉|=| |= .
即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为 . 12分
19. 解：(1)由已知得问卷调查中，从四个班级中抽取的人数分别为15,20,10,52分
从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名的取法共有 种，
这两名志愿者来自同一班级的取法共有 + + + =350. 5分
. 6分
(2)由(1)知，在参加问卷调查的50名志愿者中，来自甲、丙两班的人员人数分别为15,10. X的可能取值为 ， 8分
， ， .
X的分布列为：
X
11分
12分
20.(1) 由题意知： = ， . 2分
又∵圆 与直线 相切， ， ， 3分
故所求椭圆C的方程为 4分
(2)设 ，其中 ，
将 代入椭圆的方程 整理得： ，
故 .① 5分
又点 到直线 的距离分别为 ，
.
7分
所以四边形 的面积为
9分
， 11分
当 ，即当 时，上式取等号.
所以当四边形 面积的最大值时， =2. 12分
21.解：(1) 在 上递增 1分
由已知，有 解得
的取值范围为 . 4分
(2)由题知 对 恒成立. 5分
令 则
令
即 在 上递增 8分
又
，使得 即
在 上递减，在 上递增. 10分
又 的最大值为3. 12分
22. 解：(1)∵PA是圆O的切线 又 是公共角
∽ 2分
4分
(2)由切割线定理得：
又PB=5 6分
又∵AD是 的平分线
8分
又由相交弦定理得： 10分
23. 解：(1)曲线C的直角坐标方程为
即 曲线C为圆心为(3,0)，半径为2的圆.
直线l的方程为: 3分
∵直线l与曲线C相切
即 5分
∵ [0, = 6分
(2)设
则 = 9分
的取值范围是 . 10分
24. 解：(1)∵ 即 2分
又 当且仅当 时取等号
=2 5分
(2) 9分
满足条件的实数x不存在. 10分
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