2015届高三文科数学二诊试题（附答案）
第I卷(共50分)
一、选择题(本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意)
1.设i是虚数单位，复数 是纯虚数，则实数
A. B.2C. D.
2.已知集合 ，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
3.已知函数 ，则 是奇函数是 的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知等比数列 的前三项依次为
A. B. C. D.
5.右图给出的是计算 的值的一个框图，其中菱形判断横应填入的条件是
A. B.
C. D.
6.函数 的零点所在的区间为
A. B. C. D.
7.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为
A. B.
C. D. 以上全错
(*周练变式)8. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象( )
A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位
9.已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足 ( ) ，则P点轨迹一定通过三角形ABC的
A.内心B.外心C.垂心D.重心
10.已知函数 对任意 ，都有 的图像关于 对称，且 则
A 0 B C D
第II卷(非选择题，共100分)
二、填空题(本题包括5小题，共25分)
11.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)则该几何体的体积为________
12.已知函数 若函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为 ________
(*周练变式)13. 在区间 上随机取一个数x，则cosx的值介于0到 之间的概率是_____
(*周练变式)14. 的夹角为 ，
(*周练变式) 15. 若直角坐标平面内的两点 、 同时满足下列条件： ① 、 都在函数 的图象上;② 、 关于原点对称. 则称点对 是函数 的一对友好点对(注：点对 与 看作同一对友好点对).已知函数 则此函数的友好点对有_____对。
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16.(本小题满分12分)已知向量 ，函数 的最小正周期为 .
(I)求函数 的单调增区间; (II)如果△ABC的三边 所对的角分别为A、B、C，且满足 的值.
17.(本小题满分12分)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人)
(I) 求x、y;
(II)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率。
18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥中P-ABCD中，底面ABCD为菱形， ，Q为AD的中点..
(I)若PA=PD，求证：平面 平面PAD;
(II)若平面 平面ABCD，且 ，点M在线段PC上，且PM=2MC，求三棱锥C-QBM的体积.
19.(本小题满分12分)设数列 为等差数列，且 ;数列 的前n项和为 .
(I)求数列 ， 的通项公式;
(II)若 为数列 的前n项和，求 .
(*周练变式)20.(本小题满分13分)在数列 中， ，并且对于任意nN*，都有 . (1)证明数列 为等差数列，并求 的通项公式;(2)设数列 的前n项和为 ，求使得 m对任意n都成立的最小m值。
21.(本小题满分14分)已知函数 .
(I)当 时，求函数 图象在点 处的切线方程;
(II)当 时，讨论函数 的单调性;
(III)是否存在实数 ，对任意的 恒成立?若存在，求出a的取值范围;若不存在，说明理由.
淄博六中2012级数学(文)第二次诊断参考答案
一.选择题：DCBCA, BBCDB
二.填空题
11.4 12. 4. 13.1/3 14. 15.1
16.(I)
3分
∵ 的最小正周期为 ，且 0。
4分
由 5分
得 的增区间为 6分
(II)由
又由 8分
在 中， 9分
12分
17.
解：(I)由题意可得， ，所以 4分
(II)记从高校B抽取的2人为 ，从高校C抽取的3人为 ，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有
共10种.8分
设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有
， ， 共3种10分
所以
故选中的2人都来自高校C的概率为 12分
18 (I) ， 为 的中点， ，又 底面 为菱形，
， ,又 平面 ，又
平面 , 平面 平面 ;----------------------------6分
(II) 平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 ，又 ，
---------------------------12分
19. 解(1)数列 为等差数列,所以 又因为 2分
由
n=1时，
时，
所以 4分
为公比的等比数列
6分
(2)由(1)知， 7分
9分
+
=
=1-4+ 11分
12分
20. (1) ，因为 ，所以 ，数列 是首项为1，公差为2的等差数列， ，从而 . 6分
(2)因为 所以
10分
则m的最小值为 。。。。。。。13分
21. 解 f(x)=x-2ax+a-2= 1分
(1)当a=1时，f(x)= ，f(1)=-2，
所求的切线方程为y-f(1)=-2(x-1)，即4x+2y-3=0. 4分
(2)①当-a=2，即a=-2时，f(x)= ，f(x)在(0，+)上单调递增.
②当-a2，即-2
∵0
f(x)在(0，-a)，(2，+)上单调递增，在(-a,2)上单调递减;
③当-a2，即a-2时，∵0
2
(3)假设存在这样的实数a满足条件，不妨设x1
由 知f(x2)-ax2f(x1)-ax1成立，
令g(x)=f(x)-ax=12x2-2aln x-2x，则函数g(x)在(0，+)上单调递增，
g(x)=x-2ax-20，
即2ax2-2x=(x-1)2-1在(0，+)上恒成立.
a-12，故存在这样的实数a满足题意，
其范围为-，-12. 14分
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