沈阳铁中2015届高三上学期理科数学第一次月考试题（有答案）
一、选择题(每小题5分)
1.已知集合 ， ， ，则 =
A. B. C. D.
2.设i为虚数单位，则复数 的共轭复数为( )
A. B. C. D.
3.数列 满足an+an+1 = (n1,n N),a2=1,Sn是 的前 项的和，则S21的值为( )
A. C.6 D.10
4.下列有关命题的说法正确的是
A.命题若 ，则 的否命题为：若 ，则
B.命题 的否定是 ， ，
C. 命题若 ，则 的逆否命题是假命题 ;
D. 已知 ，命题若 是奇数，则 这两个数中一个为奇数，另一个为偶数的逆命题为假命题.
5.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()
6.从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=取到的2个数之和为偶数，事件B=取到的2个数均为偶数，则P(B︱A)=
(A) (B) (C) (D)
7.已知 ， ，猜想f(x)的表达式为( )
A. B. C. D.
8.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结 果是 ，则判断框内应填入的条件是
A. B. C. D. 5
9.函数f(x)= sin2x+cos2x()
A.在 单调递减 B.在 单调递增
C.在 单调递减 D.在 单调递增
10.一动圆圆心在抛物线 上,且动圆恒与直线 相切,则动圆必过定点
A. B. C. D.
11.设 ，若方程 满足 ，且方程至少有一根 ，就称该方程为漂亮方程。则漂亮方程的个数为
(A)8 (B)10(C)12(D)14
12.已知函数 的导函数为 ， ，且 ，设 、 是方程 的两个根，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、
13. 若 ，若 ，则
14.在矩形 中， ， ， 为 的中点，若 为该矩形内(含边界)任意一点，则 的最大值为
15.若 ， ，且满足 ， ，则 y的最大值是 。
16.已知等差数列 的每一项都有 则数列 的前n项和 =
三、
17.(本小题12分)已知 是 的三个内角，向量
，且 .
(1)求角 ;
(2)若 ，求 .
18. (本小题12分)如图,在长方体 中 为 中点.
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)在棱 上是否存在一点 ,使得 平面 ?若存在,求 的长;若不存在,说明理由.
(Ⅲ)若二面角 的大小为 ,求 的长.
19.(本小题12分)某市职教中心组织厨师技能大赛，大赛依次设基本功(初赛)、面点制作(复赛)、热菜烹制(决赛)三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是 ， ， 且各轮次通过与否相互独立.
(I)设该选手参赛的轮次为 ，求 的分布列和数学期望;
(Ⅱ)对于(I)中的 ，设函数 是偶函数为事件 D， 求事件D发生的概率.
20. (本小题12分)已知椭圆 的一个焦点是 ，且离心率为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设经过点 的直线交椭圆 于 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点
，求 的取值范围.
21.(本小题12分)已知函数f(x)=- x3+ x2-2x(aR).
(1)当a=3时，求函数f(x)的单调区间;
(2)若对于任意x[1，+)都有f(x)2(a-1)成立，求实数a的取值范围;
(3)若过点 可作函数y=f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围.
(从22/23/24三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号;若多做，则按首做题计入总分，满分10分. 请将答题的过程写在答题卷中指定的位置)(本小题满分10分)
22.(本题满分12分)如图,⊙ 的直径 的延长线与弦 的延长线相交于点 , 为⊙O上一点,弧AE等于弧AC, 交 于点 ,且 ,求 的长度.
23.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的 轴的正半轴重合.直线 的参数方程是 ( 为参数)，曲线 的极坐标方程为 .
(Ⅰ)求曲线 的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线 与曲线 相交于 ， 两点，求M,N两点间的距离.
24.设函数
⑴若 时，解不等式 ;
⑵如果对于任意的 ， ，求 的取值范围。
参考答案
1.D 2.C 3.A 4.B 5.D6.B 7.C. 8.C 9.D 10.B 11.C 12.A
13. 14. 15. 16.
17.(1)
(2)
18.解:(1)以点A为原点建立空间直角坐标系,设 ,则
,故
(2)假设在棱上存在一点 ,使得 平面 ,则
设平面 的法向量为 ,则有 ,取 ,可得 ,要使 平面 ,只要
,又 平面 , 存在点 使 平面 ,此时 .
(3)连接 ,由长方体 ,得
, ,由(1)知 ,故 平面 .
是平面 的法向量,而 ,则
二面角是 ,所以,即
19.
试题解析：(I) 可能取值为1，2，3. 2分
记该选手通过初赛为事件A，该选手通过复赛为事件B，
5分
的分布列为：
123
P
的数学期望 7分
(Ⅱ)当 时， 为偶函数;
当 时， 为奇函数;
当 时， 为偶函数;
事件D发生的概率是 . 12分
20. (Ⅰ)解：设椭圆 的半焦距是 .依题意，得 . 1分
因为椭圆 的离心率为 ，
所以 ， . 3分
故椭圆 的方程为 . 4分
(Ⅱ)解：当 轴时，显然 . 5分
当 与 轴不垂直时，可设直线 的方程为 .
由 消去 整理得 . 7分
设 ，线段 的中点为 ，
则 . 8分
所以 ， .
线段 的垂直平分线方程为 .
在上述方程中令 ，得 . 10分
当 时， ;当 时， .
所以 ，或 . 12分
综上， 的取值范围是 . 13分
21.(1) 单调递增区间为 ，单调递减区间为(2)(3)
试题解析：(1)当 时，函数 ，
得 .
所以当 时， ，函数f(x)单调递增;
当x1或x2时， ，函数f(x)单调递减.
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 .3分
(2)由 ，得 ，
因为对于任意 都有 成立，
所以问题转化为对于任意 都有 . 4分
因为 ，其图象开口向下，对称轴为 .
①当 ，即 时， 在 上单调递减，
所以 ，
由 ，得 ，此时 . 5分
②当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
由 ，得 ，此时 .
综上可得，实数 的取值范围为 . 6分
(3)设点 是函数 图象上的切点，
则过点 的切线的斜率 ，
所以过点P的切线方程为 ， 8分
因为点 在该切线上，
所以 ，
即 .
若过点 可作函数 图象的三条不同切线，
则方程 有三个不同的实数解. 10分
令 ，则函数 的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点.
令 ，解得 或 .
因为 ， ，
所以必须 ，即 .
所以实数 的取值范围为 . 12分
22. 试题解析：解：连结 ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧 可得 ,又 ,
,从而 ,
故 , ,
由割线定理知 ,故 . 10分
23.(1) (2)
【解析】(Ⅰ)由 得， ，两边同乘 得，
，再由 ， ， ，得
曲线 的直角坐标方程是 ;-----5分
(Ⅱ)将直线参数方程代入圆 方程得， ，
， ，
.-------10分
24.
解：⑴因为函数 ，所以 时不等式
即 ，由绝对值的几何意义易知解为 。
⑵因为对任意的 都有 ，即需对任意的 都有
也就是需要 与 之间距离 ，所以 即可
所以 的取值范围是 。
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