2014秋高三数学第一次月考题（理）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合 则
A. B.
C. D.
2、已知复数 满足 则
A. B. C. D.
3、若变量 满足约束条件 的最大值和最小值分别为 和 ，则
A.6 B.-6 C.0 D.1
4、若实数k满足 则曲线 与曲线 的
A.离心率相等 B.虚半轴长相等
C. 实半轴长相等 D.焦距相等
5、已知向量 则下列向量中与 成 夹角的是
A.(-1,1,0)B. (1,-1,1)C. (0,-1,1)D. (-1,0,1)
6、已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了解该地区中下学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为
A. 100，10 B. 200,10 C. 100，20 D. 200，20
7、若空间中四条两两不同的直线 满足 则下面结论一定正确的是
A. B. C. 既不垂直也不平行 D. 的位置关系不确定
8、已知函数 是定义在 上的奇函数且当 时，不等式 成立，若 ， ， 则 的大小关系是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共7小题.考生作答6小题.每小题5分，满分30分.
(一)必做题(9～13题)
9、不等式 的解集为
10、曲线 在点 处的切线方程为
11、从 中任取3个不同的数，则这3个数的平均数是6的概率为
12、在 中，角 所对应的边分别为 ，已知 ，
则
13、若等比数列 的各项均为正数，且 ，
则
(二)选做题(14、15题，考生只能从中选做一题)
14、(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线 和 的方程分别为 和 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 和 交点所在的直线方程为_________
15、(几何证明选讲选做题)如图3,在平行四边形 中，
点 在 上且 ， 与 交于点 ，
则
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16、(本小题满分12分)
已知函数 ，且 ，
(1)求 的值;
(2)求 的单调区间;
(3)求 在区间 内的最值.
17、(本小题满分12分)
随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：
30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组频数频率
[25,30]30.12
(30,35]50.20
(35,40]80.32
(40,45]
(45,50]
(1)确定样本频率分布表中 和 的值;
(2)求在这25名工人中任意抽取2人，且恰有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率;
(3)求在该厂大量的工人中任取4人，至多有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.
18、(本小题满分14分)
如图4，在正方体 中， 是 与 的交点
(1)求直线 与直线 所成角的余弦值;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值;
(2)求二面角 的正切值.
19、(本小题满分14分)
设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 满足 ①
(1)求 的值;
(2)对①进行因式分解并求数列 的通项公式;
(3)证明：对一切正整数 ，有 ②
20、(本小题满分14分)
已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(2+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1k2=1.
21、(本小题满分14分)
已知函数 ，讨论函数 的单调性.
参考答案
DBCDBDDB
9. 10. 11. 12.3 13. 14. 15.16
16、解：(1)依题意有 ，所以 (3分)
(2)增区间： ，
即 的单调增区间为 (6分)
减区间： ，
即 的单调减区间为 (9分)
(3) 当 ，即 时， 取得最大值为 ，没有最小值.(12分)
注意：单调区间没有写成区间形式每个扣1分;没有写 扣一分;求出最小值，扣1分
17、解：(1) (3分)(全对给3分，部分对给1分)
(2)25名工人中，日加工零件数落在区间(30,35]的人数为5人，设在这25名工人中任意抽取2人，且恰有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的事件为 ，则 (6分)
(3)由(1)知，任取一人，日加工零件数落在区间(30,35]的概率为 ，
设该厂任取4人，没有人日加工零件数落在区间(30,35]的事件为 ，恰有1人人日加工零件数落在区间(30,35]的事件为 ，
则 (8分)， ，(10分)
故至多有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为
答：在该厂任取4人，至多有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为 (12分)
18、解：(1) (4分)(2) (8分)(3) (14分)
注意：本题用传统方法和向量方法皆可，老师们酌情设置给分点.
19、解：(1) (3分)(2) (9分)
(3)由于
故② ，即②成立(14分)
20、解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：ca=22，
2a+2c=4(2+1)，所以a=22，c=2，又a2=b2+c2，因此b=2.
故椭圆的标准方程为x28+y24=1.(4分)
由题意设等轴双曲线的标准方程为x2m2-y2m2=1(m0)，
因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m=2，
因此双曲线的标准方程为x24-y24=1.(8分)
(2)证明：P(x0，y0)，
则k1=y0x0+2，k2=y0x0-2.因为点P在双曲线x2-y2=4上，所以x20-y20=4.
因此k1k2=y0x0+2y0x0-2=y20x20-4=1，即k1k2=1.(14分)
21、解： 的定义域为 ， (4分)
(1)当 时， ， 在区间 上是增函数;(8分)
(2)当 时，设 ，则二次方程 的判别式
i)当 时， ， 在区间 上是增函数;
ii)当 时，二次方程 有两个不相同的实数根，记为 ，结合函数 的图像可知
， 在区间 和 上是增函数，在区间 上是减函数.(14分)
(也可以用韦达定理说明 ，故 均为正数)
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