湖南师大附中2015高三上学期数学第一次月考试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知a是实数，a+i1-i是纯虚数，则a=(A)
A.1 B.-1
C.2 D.-2
2.极坐标方程cos2=4sin 所表示的曲线是(C)
A.一条直线 B.一个圆
C.一条抛物线 D.一条双曲线
3.设集合A={x|x-1}，B={x|x1}，则xA且xB成立的充要条件是(D)
A.-1
C.x D.-1
4.如果函数f(x)=sin(2x+)(0)是最小正周期为T的偶函数，那么(B)
A.T=4，2 B.T=4，2
C.T=4，4 D.T=4，4
5.已知a，b为两条直线，，为两个平面，下列命题中正确的是(D)
A.若∥b，∥b，则∥ B.若∥a，∥b，则a∥b
C.若a，b，则∥ D.若a，a，则∥
6.若ax2+bx+c0的解集为{x|x-2或x4}，则对于函数f(x)=ax2+bx+c应有(B)
A.f(5)
C.f(-1)
7.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为(A)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.由增加的长度决定
【解析】设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，a+bc.新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大.而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形.
8.若1a0，则下列不等式中不正确的是(C)
A.ab
C.a2 D.ba+ab2
9.已知an=logn+1(n+2)(nN*)，观察下列运算：(C)
a1a2=log23log34=lg 3lg 2lg 4lg 3=2;
a1a2a3a4a5a6=log23log34log78
=lg 3lg 2lg 4lg 3lg 8lg 7=3;.
若a1a2a3ak(kN*)为整数，则称k为企盼数，
试确定当a1a2a3ak=2 014时，企盼数k为
A.22 014+2 B.22 014
C.22 014-2 D.22 014-4
【解析】a1a2a3ak=lg(k+2)lg 2=2 014lg(k+2)=lg 22 014k=22 014-2.
10.过点(-2，0)的直线l与抛物线y=x22相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于(C)
A.-16 B.-14
C.14 D.12
【解析】对抛物线y=x22，y=x，l的方程是y=k(x+2)代入y=x22得：x2-2kx-4k=0，设两个交点是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=4k2+16k0x1x2=-4k，而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即x1x2=-1.k=14且满足0.
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.
11.在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取__12__个.
12.阅读右边的框图填空：若a=0.80.3，b=0.90.3，c=log50.9，则输出的数是__b(或0.90.3)__.
13.若直线y=kx与圆x2+y2-4x+3=0相切，则k的值是__33__.
14.设函数f(x)=x(ex+1)+12x2，则函数f(x)的单调递增区间为__[-1，+)__.
15.当n为正整数时，定义函数N(n)表示n的最大奇因数.如N(3)=3，N(10)=5，.记S(n)=N(1)+N(2)+N(3)++N(2n).
则(1)S(3)=__22__;(2)S(n)=__4n+23__.
【解析】由题设知，N(2n)=N(n)，N(2n-1)=2n-1.又S(0)=N(1)=1.
(1)S(3)=[N(1)+N(3)+N(5)+N(7)]+[N(2)+N(4)+N(6)+N(8)]
=[1+3+5+7]+[N(1)+N(2)+N(3)+N(4)]
=42+S(2)=42+41+S(1)=42+41+40+S(0)=22.
(2)S(n)=[1+3+5++(2n-1)]+[N(2)+N(4)+N(6)++N(2n)]
=[1+3+5++(2n-1)]+[N(1)+N(2)+N(3)++N(2n-1)]，
S(n)=4n-1+S(n-1)(n1)，
S(n)=4n-1+4n-2++41+40+1=4n+23.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.(本题满分12分)
已知函数f(x)=3sin xcos x+cos2x+1(0)的最小正周期为.
(1)求的值;
(2)求当x(0，2]时f(x)的值域.
【解析】(1)f(x)=3sin xcos x+1+cos 2x2+1
=32sin 2x+12cos 2x+32
=sin2x+6+32.
∵0，T=2=，=2. (6分)
(2)由(1)得：f(x)=sin2x+6+32.
∵0
-12sin(2x+1，
152，
f(x)的值域是1，52. (12分)
17.(本题满分12分)
某中学高三(1)班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：
组序分组频数频率
第一组[180，210)50.1
第二组[210，240)100.2
第三组[240，270)120.24
第四组[270，300)ab
第五组[300，330)6c
(1)求表中a、b、c的值;
(2)某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样的方法从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，则在第二组学生中应抽取多少人?
(3)已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
【解析】(1)由表知5+10+12+a+6=50，
则a=17，b=1750=0.34，c=650=0.12. (4分)
(2)因为102050=4，所以在第二组学生中应抽取4人. (7分)
(3)从5名学生中随机抽取2人有10种取法(可列举出来)，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有6种(也列举出来)，则所求概率P=610=35. (12分)
18.(本题满分12分)
如图，已知三棱锥P-ABC中，PC平面ABC，ABBC，
PC=BC=4，AB=2，E、F分别是PB、PA的中点.
(1)求证：侧面PAB侧面PBC;
(2)求三棱锥P-CEF的外接球的表面积.
【解析】(1)∵PC平面ABC，ABPC，
又ABBC，则AB侧面PBC，AB侧面PAB，
故侧面PAB侧面PBC. (6分)
(2)∵PC=BC=4，E为PB的中点，CEPB，
而侧面PAB垂直侧面PBC于PB，CEEF.
由E、F分别是PB、PA的中点有EF∥AB，
则EF侧面PBC.
故EC、EF、EP两两垂直， (9分)
三棱锥P-CEF的外接球就是以EC、EF、EP为长、宽、高的长方体的外接球，易求得EC=EP=22，EF=1，
其外接球的直径是8+8+1=17，
故所求三棱锥PCEF的外接球的表面积是41722=17. (12分)
19.(本题满分13分)
已知函数f(x)=13x3+12ax2-(a+2)x+b(a，bR)在[-1，1]上是减函数.
(1)求实数a的取值范围;
(2)设12
【解析】(1)由函数f(x)=13x3+12ax2-(a+2)x+b(a，bR)在[-1，1]上是减函数得：
x[-1，1]时，f(x)=x2+ax-a-20恒成立. (3分)
f(1)=1+a-a-20f(-1)=1-a-a-20，可得a-12. (6分)
(2)∵12
故f(x)在[a-1，a]上是减函数， (7分)
fmax=f(a-1)=13(a-1)3+12a(a-1)2-(a+2)(a-1)+b，
fmin=f(a)=13a3+12a3-a(a+2)+b.
依条件有fmax-fmin2912，
fmax-fmin=-2a2+52a+532912， (11分)
即8a2-10a+30，
a34或a12，
∵12
20.(本题满分13分)
如图，已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)，定点Aa2c，0(c是双曲线的半焦距)，双曲线虚轴的下端点为B.过双曲线的右焦点F(c，0)作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足2OD=OF+OP(O为原点)，且A、B、D三点共线.
(1)求双曲线的离心率;
(2)若a=2，过点B的直线l交双曲线的左、右支于M、N两点，
且△OMN的面积S△OMN=26，求l的方程.
【解析】(1)∵B(0，-b)，Aa2c，0，易求得Pc，b2a.
∵2OD=OF+OP，即D为线段FP的中点，
Dc，b22a. (3分)
又A、B、D共线.
而AB=-a2c，-b，AD=c-a2c，b22a，
c-a2c(-b)=-a2cb22a，得a=2b， (5分)
e=ca=1+ba2=1+14=52. (6分)
(2)∵a=2，而e=52，b2=1，
故双曲线的方程为x24-y2=1.① (7分)
B点的坐标为(0，-1)，设l的方程为y=kx-1，②
②代入①得(1-4k2)x2+8kx-8=0，
由题意得：1-4k2=64k2+32(1-4k2)0x1x2=84k2-10，得：k214. (9分)
设M、N的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
则x1+x2=8k4k2-1.
而S△OMN=12|OB|(|x1|+|x2|)=12|x1-x2|
=12(x1+x2)2-4x1x2
=128k4k2-12-324k2-1=221-2k21-4k2=26， (11分)
整理得24k4-11k2+1=0，解得：k2=18或k2=13(舍去).
所求l的方程为y=24x-1. (13分)
21.(本题满分13分)
设不等式组x0ynx(nN*)所表示的平面区域为Dn，记Dn内整点的个数为an(横纵坐标均为整数的点称为整点).
(1)n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)记数列{an}的前n项的和为Sn，试证明：对任意nN*
恒有S122S2+S232S3++Sn(n+1)2Sn+1512成立.
【解析】(1)D2如图中阴影部分所示，
∵在48的矩形区域内有59个整点，对角线上有5个整点，
a2=59+52=25. (3分)
(另解：a2=1+3+5+7+9=25)
(2)直线y=nx与x=4交于点P(4，4n)，
据题意有an=5(4n+1)+52=10n+5. (6分)
(另解：an=1+(n+1)+(2n+1)+(3n+1)+(4n+1)=10n+5)
(3)Sn=5n(n+2). (8分)
∵Sn(n+1)2Sn+1=n(n+2)(n+1)2(n+1)(n+3)=1(n+1)(n+3)n(n+2)(n+1)21(n+1)(n+3)，
S122S2+S232S3++Sn(n+1)2Sn+1124+135++1(n+1)(n+3) (11分)
=1212-14+13-15+14-16++1n+1-1n+3
=1212+13-1n+2-1n+3512. (13分)
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