(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知命题p：若x2+y2=0(x，yR)，则x，y全为0;命题q：若ab，则1a1b.给出下列四个复合命题：①p且q;②p或q;③綈p;④綈q.其中真命题的个数是().高考数学试题由查字典数学网收集整理!!!
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 命题p为真，命题q为假，故pq真，綈q真.
答案 B
2.6+2kZ)是cos 2=12的().
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 当6+2kZ)时，cos 2=cos(4k3)=cos 3=12.反之当cos 2=12时，有2=2k3(kZ)=k6(kZ)，或2=2k3(kZ)=k6(kZ)，故应选A.
答案 A
3.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1+x2=6，那么|AB|等于().
A.10 B.8 C.6 D.4
解析 由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=6+2=8.
答案 B
4.函数f(x)=x3+ax2+3x-9，已知f(x)在x=-3处取得极值，则a等于().
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 f(x)=3x2+2ax+3，∵f(-3)=0.3(-3)2+2a(-3)+3=0，a=5.
答案 D
5.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为().
A.y2=4x B.y2=8x
C.y2=4x D.y2=8x
解析 y2=ax的焦点坐标为(a4，0)，过焦点且斜率为2的直线方程为y=2(x-a4)，令x=0得y=-a2.12|a|4|a|2=4，a2=64，a=8.
答案 B
6.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点共有().
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 在极小值点附近左负右正，有一个极小值点.
答案 A
7.设双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于().
A.3 B.2 C.5 D.6
解析 双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=bax，因为y=x2+1与渐近线相切，故x2+1bax=0只有一个实根，b2a2-4=0，c2-a2a2=4，c2a2=5，e=5.
答案 C
8.双曲线x2a2-y2b2=1与椭圆x2m2+y2b2=1(a0，m0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形一定是().
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
解析 双曲线的离心率e21=a2+b2a2，椭圆的离心率e22=m2-b2m2，由已知e21e22=1，即a2+b2a2m2-b2m2=1，化简，得a2+b2=m2.
答案 C
9.函数y=xln x在(0，5)上是().
A.单调增函数
B.单调减函数
C.在0，1e上单调递增，在1e，5上单调递减
D.在0，1e上单调递减，在1e，5上单调递增
解析 f(x)=ln x+x1x=ln x+1(x0).
令f(x)=0，得x=1e，
在x0，1e上，f(x)0，在x1e，5，f(x)0，故选D.
答案 D
10.若0
A.2x3sin x B.2x3sin x
C.2x=3sin x D.与x的取值有关
解析 令f(x)=2x-3sin x，则f(x)=2-3cos x.
当cosx23时，f(x)0，
当cos x=23时，f(x)=0，
当cos x23时，f(x)0.
即当0
而f(0)=0，f-30.故f(x)的值与x取值有关，即2x与sin x的大小关系与x取值有关.故选D.
答案 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)
11.给出下列结论：
①若命题p：xR，tan x=1;命题q：xR，x2-x+10，则命题p綈q是假命题;
②已知直线l1：ax+3y-1=0，l2：x+by+1=0，则l1l2的充要条件是ab=-3;
③命题若x2-3x+2=0，则x=1的逆否命题为：若x1，则x2-3x+2.
其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上).
解析 对于①，命题p为真命题，命题q为真命题，所以p綈q为假命题，故①正确;对于②，当b=a=0时，有l1l2，故②不正确;易知③正确.所以正确结论的序号为①③.
答案 ①③
12.与双曲线x2-y24=1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是______________.
解析 依题意设双曲线的方程x2-y24=(0)，将点(2，2)代入求得=3，所以所求双曲线的标准方程为x23-y212=1.
答案 x23-y212=1
13.曲线y=xx-2在点(1，-1)处的切线方程为________.
解析 y=x-2-x(x-2)2=-2(x-2)2，y|x=1=-2，
故所求切线方程为y+1=-2(x-1)，即2x+y-1=0.
答案 2x+y-1=0
14.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x225+y29=1的左、右焦点分别是F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1PF2，则△PF1F2的面积为______.
解析 ∵PF1PF2，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由椭圆方程知a=5，b=3，c=4，
|PF1|2+|PF2|2=4c2=64，|PF1|+|PF2|=2a=10，解得|PF1||PF2|=18.△PF1F2的面积为12|PF1||PF2|=1218=9.
答案 9
三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(10分)已知命题p：方程x22m+y29-m=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线y25-x2m=1的离心率e(62，2)，若命题p、q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围.
解 若p真，则有9-m0，
即00，
且e2=1+b2a2=1+m5(32，2)，即52
若p、q中有且只有一个为真命题，则p、q一真一假.
①若p真、q假，
则0
②若p假、q真，
则m3或m0，且52
故所求范围为：0
16.(10分)已知函数f(x)=ax-ln x，若f(x)1在区间(1，+)内恒成立，求实数a的取值范围.
解 由f(x)1，得ax-ln x-10.
即a1+ln xx在区间(1，+)内恒成立.
设g(x)=1+ln xx，则g(x)=-ln xx2，
∵x1，g(x)0.
g(x)=1+ln xx在区间(1，+)内单调递减.
g(x)
即1+ln xx1在区间(1，+)内恒成立，a1.
17.(10分)已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点.
(1)求a的取值范围;
(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值.
解 (1)由y=ax+1，3x2-y2=1消去y，
得(3-a2)x2-2ax-2=0.
依题意得3-a20，0，即-6
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=2a3-a2，x1x2=-23-a2.
∵以AB为直径的圆过原点，OAOB，
x1x2+y1y2=0，
即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0，
即(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0.
(a2+1)-23-a2+a2a3-a2+1=0，
a=1，满足(1)所求的取值范围.故a=1.
18.(12分)某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元?
解 设在甲地销售m辆车，在乙地销售(15-m)辆车，
则总利润y=5.06m-0.15m2+2(15-m)=-0.15m2+3.06m+30，所以y=-0.3m+3.06.
令y=0，得m=10.2.
当010.2时，y0;
当10.2
故当m=10.2时，y取得极大值，也就是最大值.
又由于m为正整数，且当m=10时，y=45.6;
当m=11时，y=45.51.
故该公司获得的最大利润为45.6万元.
19.(12分)设圆C与两圆(x+5)2+y2=4，(x-5)2+y2=4中的一个内切，另一个外切.
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;
(2)已知点M(355，455)，F(5，0)，且P为L上动点，求||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标.
解 (1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.
圆(x+5)2+y2=4的圆心为F1(-5，0)，半径为2，
圆(x-5)2+y2=4的圆心为F(5，0)，半径为2.
由题意得|CF1|=r+2，|CF|=r-2或|CF1|=r-2，|CF|=r+2，
||CF1|-|CF||=4.∵|F1F|=254，
圆C的圆心轨迹是以F1(-5，0)，F(5，0)为焦点的双曲线，其方程为x24-y2=1.
(2)由图知，||MP|-|FP|||MF|，
当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|-|FP|取得最大值|MF|，
且|MF|=(355-5)2+(455-0)2=2.
直线MF的方程为y=-2x+25，与双曲线方程联立得
y=-2x+25，x24-y2=1，整理得15x2-325x+84=0.
解得x1=14515(舍去)，x2=655.此时y=-255.
当||MP|-|FP||取得最大值2时，点P的坐标为
(655，- ).高考数学试题由查字典数学网收集整理!!!