2015—2016高三数学第一学期期中参考答案(理科)
一、 选择题
1. A 2. C 3. D 4. A 5.B 6. A 7. C 8. C
二、填空题
9. 10. 3;11.-1
12. 13. 14.
三解答题
15.(本题满分13分)
(Ⅰ)解：在 中，根据正弦定理，
，
于是 ……………………6分
(Ⅱ)解：在 中，根据余弦定理，得
∵D为AB边的中点,∴AD= 在△ACD中，有余弦定理有：
…………13分
16. 解：(Ⅰ) 的定义域为 ，
当 时， ， ，
所以 在 处取得极小值1. …………6分
(Ⅱ) ，
①当 时，即 时，在 上 ，在 上 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增;
②当 ，即 时，在 上 ，
所以，函数 在 上单调递增. …………13分
17. 解：(Ⅰ)
∴ ，∵ ，∴ ，
又∵ ，∴
∴ …………6分
(Ⅱ)同理(Ⅰ)， ，∴ ，
，
∴原式= …………13分
18.
(Ⅰ)∵函数 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，
∴在区间 的最大值为 =6，
∴解得m=3
(x∈R)的最小值为-2+4=2，此时x的取值集合由 解得： ………………7分
(Ⅱ)函数设z= ,函数 的单调增区间为
由 ，得 ，
设A=
B={x| }，∴
∴ ，x∈ 的增区间为： 。………13分
19解：(I) ………………………………………………2分
由已知条件得
解得 …………………………………………………………6分
(II) ，由(I)知
令 解得
增 减
当 时，取得最大值
当 时，取得最小值
(Ⅲ)设 则
……………………………………10分
而 ……………………14分
20.解：(Ⅰ)因为
由 ;由 ,
所以 在 上递增,在 上递减
要使 在 上为单调函数,则 -------------4分
(Ⅱ)因为 在 上递增,在 上递减，
∴ 在 处有极小值 -
又 ，
∴ 在 上的最小值为
从而当 时, ，即 -------------8分
(Ⅲ)证：∵ ，又∵ ，
∴ ,
令 ,从而问题转化为证明方程 =0在 上有解,并讨论解的个数
∵ ,
,
① 当 时, ,
所以 在 上有解,且只有一解
②当 时, ,但由于 ,
所以 在 上有解,且有两解
③当 时, ,故 在 上有且只有一解;
当 时, ,
所以 在 上也有且只有一解
综上所述, 对于任意的 ,总存在 ,满足 ,
且当 时,有唯一的 适合题意;
当 时,有两个 适合题意. --------------14分
(说明:第(3)题也可以令 , ,然后分情况证明 在其值域内,并讨论直线 与函数 的图象的交点个数即可得到相应的 的个数)
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