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本文题目：高一数学教案：不等关系教案

目标展示：1.感受现实世界和日常生活中存在的不等关系,会用不等式表示现实生活中的不等 关系

2.了解不等式的基本性质,并能用实数基本关系理论来比较(或证明)两个代数式的 大小关系

重点难点:不等式常见基本性质及应用;永不等式(组)表示不等关系

知识铺垫：不等式的概念和一些基本性质

1. 在数量上刻画实现世界中不等关系的数学模型为不等式

2. 熟悉的一元一次不等式(组)的解集求法回顾： 如何求解

3. 实数基本理论及比较大小的依据

① ____________ ② ____________

② ____________

4. 不等式的一些简单基本性质

(1) ____________(传递性)

(2) ____________ ; ____________(同向不等式可加)

(3) ____________ ; ____________

特别地 ___________ ; ， ______

(4) ___________

注：性质利用时，关键要注意成立的条件.如 且 等

5. 实数比较大小的方法:

基本方法是作差法：作差变形判断符号结论(有时可以作商比较)变形时常考虑配方、因式分解、有理化等方法.

一、 情境和问题(用不等式(组)表示不等关系

(1) 沪宁高速公路全程限速 ;

(2) 某钢铁厂把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产要求，600mm的钢管数量不能超过500mm钢管的3倍

(3) 某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠，那么不足20人时，应该选择怎样的购票方案?

(4) 某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册，经过调查，若价格每提高0.2 元,则发行量就减少5000册.要使杂志社的销售收入大于22.4万元,每本杂志的价格应定在怎样的范围内?

二、合作研究

用不等式(组)表示不关系是，可选取适当的符号表示变量如时间(t),距离(d)等，还应准确运用不等符号，如超过(),小于 ，不小于 ，不大于 等.同时还要标明变量的单位和变化范围.如个数 ,月份 等.

试用不等式(组)刻画(1)(2)中的不等关系为:

(1)_____________ (2)__________________

(3)(4)中的问题又如何考虑列式，你能求解吗?

课堂练习 ：(课本 练习1，2，3)

三、例题讲解：

例1、试比较下列两式的大小

(1) 和 (2) 与 (其中 )

(3) 与 (其中 ) (4) 与

例2、判断下列各命题是否成立,并简述理由：

(1)若 ，则 (2)若 ，则

(3)若 则 (4)若 则

例3、设 求：(1) 的取值范围;(2) 的取值范围

例4、若二次函数 图像关于 轴对称，且 ，求 的范围.

四、课后反馈

1. 某高速公路对行驶的各种车辆的速度 的最大限速为 ,行使过程中,同一车道上的车间距 不得小于10m，用不等式(组)表示为__________________

2. 已知 克糖水中有 克糖，若再添加 克糖，则糖水变甜了，根据这个事实， 满足的不等关系是__________________

3. 若 ，则 与 的大小关系为_______________

4. 已知 则 与 的大小关系为_______________

5. 给出三个不等式：(1) ;(2) (3) .其中对一切 都成立的不等式有_______________

6. 已知 , 则 的范围为_____________, 的范围为________________

7. 已知三个不等式:(1) (2) (3) 以其中两个作为条件,余下的一个作结论,则可组成_______________个正确命题

8. 咖啡馆配置两种饮料.每杯甲种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为9 ，4 ，3 ，每杯乙种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为4 ，5 ，5 .已知每天用原料为奶粉3600 ，咖啡2000 ，糖3000 ,写出满足上述所有不等关系的不等式.

9. (08广州高考)用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板,随着铁钉的深入,铁钉受到的阻力越来越大,使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的 .已知一个铁钉受击3次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的 ,请从这个例子中提炼出一个不等式.

10. 制定投资计划时不仅要考虑到可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损,某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,请用不等式(组)把此实例中的不等量关系表示出来.

11. 设 ,比较 与 的大小

12. 当 时.比较 与 的大小

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3.如7，物体m静止在倾角为的斜面上，用水平力F推物体m，若F由零稍微增大一些，但m仍静止，则()

A.物体m受到的静摩擦力一定减小

B.物体m受到的合外力不变

C.斜面受到的压力增大

D.物体m对斜面的静摩擦力一定增大

8

4.如8所示，一木板B放在水平地面上，木块A放在B的上面，A的右端通过轻质弹簧秤固定在直立的墙壁上，用F向左拉动B，使它以速度v运动，这时弹簧秤示数为FT.下面的说法中正确的是()

A.木板B受到的滑动摩擦力的大小等于FT

B.地面受到的滑动摩擦力的大小等于FT

C.若木板以2v的速度运动，木块A受到的摩擦力的大小等于2FT

D.若2F的力作用在木板上，木块A受到的摩擦力的大小等于FT

参考答案

课前自主学习

1.匀速直线运动

2.(1)静止 零 速度 加速度 (2)匀速直线运动 速度 加速度

3.v=0 a=0 v=0

4.零

核心知识探究

一、

[问题情境]

演员们经过长期的训练，很好地掌握并利用了物体的平衡条件.

二、

[要点提炼]

1.(1)所受合外力F合=0 (2)Fx=0;Fy=0

解题方法探究

例1 C [处于平衡状态的物体，从运动形式上是处于静止状态或保持匀速直线运动状态，从受力上看，物体所受合力为零.某一时刻速度为零的物体，受力不一定为零，故不一定处于平衡状态，A错;物体相对于另一物体静止时，该物体不一定处于平衡状态，如当另一物体做变速运动时，该物体也做相同的变速运动，此物体处于非平衡状态，故B错;C选项符合平衡条件的判断，为正确选项;物体做匀加速运动，所受合力不为零，故不是平衡状态，D错.]

变式训练1 AC [在共点力的作用下，物体如果处于平衡状态，则该物体必同时具有以下两个特点：从运动状态来说，物体保持静止或者匀速直线运动，加速度为零;从受力情况来说，合力为零.物体在某一时刻的速度为零，并不等同于这个物体保持静止，如果物体所受的合力不为零，它的运动状态就要发生变化，在下一个瞬间就不再是静止的了，所以物体是否处于平衡状态要由物体所受的合外力和加速度判断，而不能认为物体某一时刻速度为零，就是处于平衡状态.本题的正确选项应为A、C.]

例2 见解析

解析 如所示，物体m受重力mg、斜面支持力FN、水平力F作用，是否受静摩擦力?其方向怎样?要回答这个问题，必须分析三个力的关系才能够确定.

解法一：(1)当FN、F、mg三力平衡，即沿斜面有Fcos =mgsin 时，即使斜面粗糙，物体也不受摩擦力.

(2)当FN、F、mg合力沿斜面向上时，即在斜面方向上Fcos mgsin 时，物体必然受沿斜面向下的摩擦力，否则物体不可能平衡，此时物体所受摩擦力大小为f=Fcos -mgsin .

(3)当FN、F、mg合力沿斜面向下时，即沿斜面方向有Fcos

解法二：可用假设法，假设物体所受摩擦力f沿斜面向下，则根据物体平衡条件，得Fcos =f+mgsin ，所以f=Fcos -mgsin .

讨论：①当Fcos -mgsin =0时，f=0.

②当Fcos -mgsin 0时，f0，物体所受摩擦力方向与假设方向相同，即沿斜面向下.

③当Fcos -mgsin 0时，f0，物体所受摩擦力方向与假设方向相反，即沿斜面向上.

变式训练2 球的重力不能超过G

解析 由三角形劈与地面之间的最大静摩擦力，可以求出三角形劈所能承受的最大压力，由此可求出球的最大重力.

球A与三角形劈B的受力情况如甲、乙所示，球A在竖直方向的平衡方程为：

GA=FNBAsin 45①

三角形劈的平衡方程为：

fm=FNABsin 45②

FNB=G+FNABsin 45③

另有fm=FNAB④

由②③④式可得：FNAB=G221-

而FNBA=FNAB，代入①式可得：GA=G

例3 B [准确画出物体的受力，明确哪些量变、哪些量不变，然后由平衡条件和几何知识进行分析求解.

虽然题目中的FN1和FN2涉及的是墙和木板的受力情况，但研究对象只能取球，由于球处于一个动态平衡过程，FN1和FN2都是变力，画受力可以先画开始时刻的，然后再根据各力的关系定性或定量地讨论某力的变化规律.

球所受的重力G产生的效果有两个：使球压墙的力F1和使球对板的压力F2.根据G产生的效果将其分解，如所示，则F1=FN1，F2=FN2.从中不难看出，当板BC逐渐被放平的过程中，F1的方向保持不变而大小逐渐减小，F2与G的夹角逐渐变小，其大小也逐渐减小，因此正确选项为B.]

变式训练3 BD

[该题是动态平衡问题，处理这类问题要牢记一点，取结点O为研究对象，绳OA、OB的拉力的合力F合与灯的重力G大小相等方向相反，始终不变，由平行四边形法则画出矢量如右.

由可知：在A点上移的过程中，F1先变小后增大，F2一直减小，所以答案B、D正确.]

即学即练

1.D

2.B [木块在重力、支持力、摩擦力作用下平衡，FN=Gcos ，f=Gsin .]

3.BC [当物体不受F作用时，由受力分析可知：

沿斜面方向，有摩擦力f=mgsin

沿垂直斜面方向，斜面对物体的支持力FN=mgcos

当水平力F作用于物体m上并由零稍微增大后，物体仍静止，所受合力为零，B选项正确.

由分析知：

f=Fcos -mgsin ，FN=Fsin +mgcos

因而，当F稍微增大一些时，FN必增大，斜面受到的正压力增大，选项C正确.F开始增大，f减小，当F增大到Fcos =mgsin 时，f=0.当F继续增大时，物体m相对于斜面有向上的运动趋势，故静摩擦力改变方向，此时沿斜面方向上平衡方程可变为：Fcos =mgsin +f

当F继续增大时，f亦继续增大，直至物体开始滑动，故A、D错误，B、C正确.]

4.D

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