【摘要】欢迎来到查字典数学网高一数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文：高一数学教案：函数的表示法教案希望能为您的提供到帮助。
本文题目：高一数学教案：函数的表示法教案
一、 内容与解析
(一) 内容：映射
(二)解析：⑴映射是两个集合 与 中，元素之间存在的某种对应关系.说其是一种特殊的对应，就是因为它只允许存在一对一与多对一这两种对应，而不允许存在一对多的对应.
⑵映射中只允许一对一与多对一这两种对应的特点，从 到 的映射 : 实际是要求集合 中的任一元素都必须对应于集合 中唯一的元素.但对集合 中的元素并无任何要求，即允许集合 中的元素在集合 中可能有一个元素与之对应，可能有两个或多个元素与之对应，也可能没有元素与之对应.
⑶映射中对应法则 是有方向的，一般来说从集合 到集合 的映射与从集合 到集合 的映射是不同的.
(4)我们可以把对应关系看成一面镜子，集合 中的元素在这面镜子中存在一个像，一个相对应的元素，原像则是集合 中的元素.这样像和原像的概念就比较容易理解.并且映射中集合 的每一个元素在集合 中都有它的像，通过对应关系即通过镜子总存在像，而且像是唯一的，不会照出许多的像来，这是映射区别于一般对应的本质特征.
二、 目标及其解析：
(一) 教学目标
(1) 了解映射的概念及表示方法;结合简单的对应图示，了解一一映射的概念.
(2) 解析：重点把握映射与函数的区别。
三、 问题诊断分析
函数与映射的区别与联系
(1)函数包括三要素:定义域、值域、两者之间的对应关系;映射包括三要素: 集合A, 集合B, 以及A,B之间的对应关系
(2)函数定义中的两个集合为非空数集; 映射中两个集合中的元素为任意元素,如人、物、命题等都可以.
(3)在函数中,对定义域中的每一个 ,在值域中都有唯一确定的函数值和它对应;在映射中,对集合A中的任意元素 ,在集合B中都有唯一确定的像 和它对应.
(4)在函数中,对值域中的每一个确定的函数值,在定义域中都有确定的自变量的值和它对应;在映射中,对于集合B中的任一元素 ,在集合A中不一定有原像.
(5)函数实际上就是非空数集A到非空数集B的一
个映射
(6)通过右图我们可以清晰的看到这三者的关系.
四、 教学支持条件分析
在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint 2003。因为使用PowerPoint 2003，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。
五、 教学过程
1. 教学映射概念：
① 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意
, ，对应法则：开平方;
， ，对应法则：平方;
, , 对应法则：求正弦;
② 定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应 为从集合A到集合B的一个映射(mapping).记作
关键: A中任意，B中唯一;对应法则f.
③ 分析上面的例子是否映射?举例日常生活中的映射实例?
④ 讨论：映射的一些对应情况?(一对一;多对一) 一对多是映射吗?
举例一一映射的实例 (一对一)
2.教学例题：
① 出示例1. 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射?
A={P | P是数轴上的点}，B=R; A={三角形}，B={圆};
A={ P | P是平面直角体系中的点}， ; A={高一某班学生}，B= ?
( 师生探究从A到B对应关系 辨别是否映射?一一映射? 小结：A中任意，B中唯一)
② 讨论：如果是从B到A呢?
③ 练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射?
A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则 ;
，对应法则 ;
， ， ;
设 ;
，
六、 类型题探究
题型一 映射的判断
例1 下列集合 到集合 的对应中，判断哪些是 到 的映射? 判断哪些是 到 的一一映射?
(1) ，对应法则 .
(2) ， ， ， ， .
(3) ， ，对应法则 除以2得的余数.
(4) ， ， 对应法则
.
【思维导图】
【解答关键】根据给出的f分析这个对应是否为一对一与多对一若是则为映射，否则不是，再观察是不是一对一的对应，若是则为一一映射.
【规范解答】 (1)是映射，不是一一映射，因为集合 中有些元素(正整数)没有原像.
(2)是映射，是一一映射.不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数都存在倒数.
(3)是映射，因为集合 中不同元素对应集合 中相同的元素.
(4)是映射，不是一一映射，因为集合 中的元素(如-4，4)都对应集合 中的元素(2).
【易错辨析】判断一个对应是不是映射或一一映射，应观察对应的特点;说明一个对应不是映射或一一映射，只须找出一个反例.对于一一映射是一种特殊的映射，它的判断主要考虑：若⑴A中的不同元素在B中有不同的像;⑵B中任何一个元素在A中都有原像，则这个映射就是一 一映射.
【活学活用】1.下列集合 到集合 的对应 是映射的是( )
A. ： 中的数平方;
B. ： 中的数求平方根;
C. ： 中的数取倒数;
D. ： 中的数取绝对值;
1.A. 解析：B中错误在集合A中的元素1在集合B中有两个元素-1，1与之对应，因此不是映射.C，D中错误都在于集合中有0这个元素在集合B中没有相对应的元素.
题型二 映射对应法则的应用
例2 已知A={1， 2，3， }，B={4，7, , },其中 N+.若x A,y B,有对应关系 ： 是从集合A到集合B的一个映射，且 =4, =7,试求 的值.
【解答关键】先通过已知条件求得 ，再通过分析映射的两个集合中元素之间的关系，得出m、n之间的方程，解得相应的参数值.
【规范解答】由 =4, =7,列方程组： 故对应法则为： .
由此判断A中元素3的像是 或 . 若 =10，因 N+不可能成立,所以 =10,解得 =2或n= -5(舍去).
又当集合A中的元素 的像是 时,即 =16, 解得 =5.
当集合A中的元素 的像是 时, 即 =10, 解得 =3.由元素唯一性知, =3舍去.
故 =3,q=1, =5, =3或 =3,q=1, =5, =2.
【归纳总结】通过该题，加深对映射的理解，加深对映射中对应法则的理解和应用.解好此题的关键是分清原象和象各是谁，对应法则是什么，对应法则是如何把象与原象联系在一起的.映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射.
【活学活用】2.设f : AB是A到B的一个映射，其中A=B={(x，y)|x，yR}，f :(x，y)(x-y，x+y)，求A中元素(-1，2)的象和B中元素(-1，2)的原象.
2.这是一个映射的问题，由已知(x，y)的象为(x-y，x+y)，确定了对应法则.
先求A中元素(-1，2)的象.令x=-1，y=2，
由题意得x-y=-1-2=-3，x+y=-1+2=1，所以(-1，2)的象为(-3，1);
再求B中元素(-1，2)的原象.令 解得
所以(-1，2)的原象是( ， ).
题型三 利用映射研究函数问题
例 3设A={x∣02}，B={y∣12}，图中表示A到B的函数是 ( )
【解答关键】本题已知两个集合为数集，再根据图像观察是否为映射，便可得出是否为函数.
【规范解答】首先C图中，A中同一个元素x(除x=2)与B中两个元素对应，它不是映射，当然更不是函数;其次，A、B两图中，A所对应的象的集合均为{y∣02}，而{y∣02} B={y∣12}，故它们均不能构成 的函数.从而答案选D.
【易混辨析】本题根据映射观点下的函数定义直接求解.考察函数图像与映射之间的关系，此类问题回到定义中去，牢牢掌握映射的概念，就很容易解决，而关于映射知识点的考察，一般也是对其概念进行考察.函数首先必须是映射，是当集合A与B均为非空数集时的映射.因此，判断一个对应是否能构成函数，应判断：①集合A与B是否为非空数集;②f：AB能否为一个映射.另外，函数f：AB中，象的集合M叫函数的值域，且MB.
【活学活用】3.图中表示的是从集合 到集合 的对应，其中能构成映射的是 ( )
3.A 解析： 到 的一个对应能否构成 到 的映射的关键是：集合 中的任一元素都必须满足对应于集合 中唯一的元素. 因此，图象中必须满足对于 的每一个值， 必须有且只有唯一的值与之对应.不难得知应选A.
(二)小结
七、 目标检测
一、选择题
1.设 是集合A到B的映射，下列说法正确的是( )
A、A中每一个元素在B中必有像 B、B中每一个元素在A中必有原像
C、B中每一个元素在A中的原像是唯一的 D、B是A中所在元素的像的集合
1.A解析：是对映射概念的判断，对于答案B，D集合B中的元素在集合A中不一定有原像，因此也不是集合A中所在元素的像的集合.答案C自然也错.
2.下列各对应关系中,是从A到B的映射的有( )
A、(2)(3) B、(1)(4) C、(2)(4) D、(1)(3)
2. D解析：(1)(3)这两个图所表示的对应都符合映射的定义，对于(2)中的元素 都对应着两个元素，(4)中的元素 没有元素与之对应.
3.点 在映射 下的对应元素为 ，则点 在 作用下的对应元素为( )
A. B. C. D.
3.C 解析： ， .
4. 已知映射f：AB，其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的像，且对任意aA，在B中和它们对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是 ( )
A. 4 B.5 C.6 D.7
4. A解析：依题意，由AB的对应法则为f：a|a|.于是，将集合A中的7个不同元素分别取绝对值后依次得3，2，1，1，2，3，4.由集合元素的互异性可知，B={1，2，3，4}，它有4个元素，答案选A.
二、填空题
5.已知集合A={x∣04}，B={y∣02}，下列从A到B的对应f：①f：xy=
②f：xy= ③f：xy= ④f：xy=
(1)其中不是映射的是 ; (2)其中是一一映射的是 .
5.(1)③，(2)①④ 解析：. ③中当x=4时在集合B中找不到对应的像.②中集合B中的像x=2找不到对应的原像.
6.已知集合A=Z,B={x|x=2n+1,n Z},C=R,且从A到B的映射是x2x-1,从B到C的映射是x ,则从A到C的映射是____.
6.x 解析：A到C的映射为x .
7.若映射f：AB的像的集合是Y，原像的集合是X，则X与A的关系是_ _____，Y和B的关系是__ ___.
7. A=X Y B 解析：是对映射概念的判断，显然X与A的关系是相等，因为B中每一个元素在A中不一定有原像，所以Y和B的关系是Y B.
三、解答题
8.已知 ， ，且从 到 的映射满足 ，试确定这样的映射 的个数.
8.因为从 到 的映射满足 ，所以
⑴当 时，有 或 或
⑵当 时，有
综上，从 到 的映射中满足 的映射 的个数是4个.
9.已知映射f：AB中，A=B={(x，y)∣xR，yR }，f：(x，y) (x+2y+2，4x+y).
(1)求A中元素(5，5)的像;
(2)求B中元素(5，5)的原像;
(3)是否存在这样的元素(a，b)，使它的像仍是自己?若有，求出这个元素.
9.(1)由题意有A中元素(5，5)的像为
(2)B中元素(5，5)的原像满足x+2y+2=5，4x+y=5，解得 .
所以B中元素(5，5)的原像为(1，1);
(3)假设存在这样的元素(a，b)，使它的像仍是自己
它满足方程组x = x+2y+2，y = 4x+y.解得 ，此元素为(0，-1).
高考能力演练
10. 设A={(x，y)∣xR，yR }.如果由A到A的一一映射，使像集合中的元素(y-1，x+2)和原像集合中的元素(x，y)对应，那么像(3，-4)的原像是( )
A.(-5，5) B.(4，-6) C.(2，-2) D.(-6，4)
10.D解析：由像与原像的概念可知，本题中的对应法则是f：(x，y)(y-1，x+2)，问题即：当点(y-1，x+2)是(3，-4)时，对应的x，y的值分别是多少?于是由
，即像(-3，4)的原像是(-6，4)，选D.
11.已知集合 ， ，其中 ， .若 ， ，映射 : 使 中元素 和 中元素 对应.求 和 的值.
11.∵ 中元素 对应 中元素 ，
中元素的象是 ， 的象是 ， 的象是 . ，或 .
又 ， ，解之，得 .
∵ 的象是 ， ，解之，得 .
12. 现代社会对破译密文的难度要求越来越高，有一种密码把英文的明文(真实文)按两个字母一组分组(如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组)，例如：
Wish y.u success，分组为Wi，sh，y.，us，uc，ce，ss得到
, , , , , , ,
其中英文的a，b，c，，z的26个字母(不论大小写)依次对应的1，2，3，，26这26个自然数，见表格：
a b c d e f g h i j k l m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
n . p q r s t u v w x y z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
给出如下一个变换公式 将明文转换为密文.如
，即ce变成mc(说明：2926余数为3).
又如 ，即wi变成.a(说明：4126余数为15，10526余数为1).
(1)按上述方法将明文star译成密文;
(2)若按上述方法将某明文译成的密文是kcwi，请你找出它的明文.
12.(1)将star分组：st，ar，对应的数组分别为 ，
由 得 ， .
star翻译成密文为ggkw.
(2)由 得
将kcwi分组：kc，wi，对应的数组分别为 ， ,由 得 ， .
密文kcwi翻译成明文为g..d.
【总结】2013年查字典数学网为小编在此为您收集了此文章高一数学教案：函数的表示法教案，今后还会发布更多更好的文章希望对大家有所帮助，祝您在查字典数学网学习愉快!