对于在已知条件的线上找点与已知点构成一定的角的问题，如果能根据题目的题设和结论，构造出符合题意特征的辅助圆，即把题目中的固定角转化为圆的圆周角问题，就能使问题得以顺利解决，这种方法利用数形结合，使代数与几何等知识相互渗透，综合应用，它不但能较好的达到解题的目的，还有利于培养学生分析问题的能力。请看下面的两个例题：
例1：(06东营)如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P，使得∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是
(A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)不存在
分析：要在直线l上找点P使∠APB=30°，可以构造以AB为边作等边三角形ABO，则∠AOB=60°，然后以O为圆心，AB为半径，作圆O，如图，∵△ABO为等边三角形∴OB∥l，∴点O到l的距离d
解：此题如果以AB为边作等边△ABO,再以点O为圆心，AB为半径作圆交直线l与点P1、P2，∵∠AOB=60°∴∠AP1B=30°，∠AP2B=30°所以满足条件的点P的个数是两个，分别为P1、P2。
例2：(06陕西)如图，矩形ABCG(
A.0 B.1 C.2 D.3
分析：要使∠APE=90°，则需要以AE为直径作圆，如果此圆与线段BD相交，有几个交点，则使∠APE为直角的点P的个数就有几个，通过作图及圆心到直线的距离可知，以AE为直径的圆与BD只有两个交点，所以使∠APE为直角的点P的个数是两个。
解：此题连接AE、AC、CE，因为矩形ABCG与矩形CDEF全等，所以Rt△ACG≌Rt△CEF则∠ACE=90°，所以点C为满足条件的P点之一。取AE的中点O，然后以点O为圆心，以OA为半径作圆O，因为点O到BC的距离小于OC，所以圆O与BD有两个交点C、P，∵AE为直径，∴∠ACE=90°，∠APE=90°。∴使∠APE为直角的点的个数是两个。