勾股定理及其逆定理是初中数学中的重要内容之一,它的应用极其广泛,现将常见的应用例析如下,供同学们参考。
一、利用勾股定理进行计算
1.求面积
例1:如图1,在等腰△ABC中,腰长AB=10cm,底BC=16cm,试求这个三角形面积。
析解:若能求出这个等腰三角形底边上的高,就可以求出这个三角形面积。而由等腰三角形三线合一性质,可联想作底边上的高AD,此时D也为底边的中点,这样在Rt△ABD中,由勾股定理得AD2=AB2-BD2=102-82=36,所以AD=6cm,所以这个三角形面积为 BCAD= 166=48 cm2。
2.求边长
例2:如图2,在△ABC中,C=135?,BC= ,AC=2,试求AB的长。
析解:题中没有直角三角形,不能直接用勾股定理,可考虑过点B作BDAC,交AC的延长线于D点,构成Rt△CBD和Rt△ABD。在Rt△CBD中,因为ACB=135?,所以BCB=45?,所以BD=CD,由BC= ,根据勾股定理得BD2+CD2=BC2,得BD=CD=1,所以AD= AC+ CD=3。在Rt△ABD中,由勾股定理得AB2= AD2+BD2=32+12=10,所以AB= 。
二、利用勾股定理的逆定理判断直角三角形
例3:已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试判断△ABC的形状。
析解:由于所给条件是关于a,b,c的一个等式,要判断△ABC的形状,设法求出式中的a,b,c的值或找出它们之间的关系(相等与否)等,因此考虑利用因式分解将所给式子进行变形。因为a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,所以a2-10a+ b2-24b+c2-26c+338=0,所以a2-10a+25+ b2-24b+144+ c2-26c+169=0,所以(a-5)2+ (b-12)2+ (c-13)2=0。因为(a-5)20,(b-12)20,(c-13)20,所以a-5=0,b-12=0,c-13=0,即a=5,b=12,c=13。因为52+122=132,所以a2+ b2= c2,即△ABC是直角三角形。
三、利用勾股定理说明线段平方和、差之间的关系
例4:如图3,在△ABC中,C=90?,D是AC的中点,DEAB于E点,试说明:BC2=BE2-AE2。
析解:由于要说明的是线段平方差问题,故可考虑利用勾股定理,注意到BED=AED=90?及CD=AD,可连结BD来解决。因为C=90?,所以BD2=BC2+CD2。又DEAB,所以BED=AED=90?,在Rt△BED中,有BD2=BE2+DE2。在Rt△AED中,有AD2= DE2+AE2。又D是AC的中点,所以AD=CD。故BC2+CD2= BC2+ A D2= BC2+ DE2+AE2= BE2+ DE2,所以BE2= BC2+ AE2,所以BC2=BE2-AE2。