(一)直线与圆
1. 设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*)。下列四个命题:
A. 存在一条定直线与所有的圆均相切
B. 存在一条定直线与所有的圆均相交
C. 存在一条定直线与所有的圆均不相交
D. 所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是______(写出所有真命题的代号)。
分析Ck的圆心 x0=k-1,y0=3k,k∈N*
半径 r=-k2
y0=3(x0+1)为一条直线,∴Ck的圆心,k∈N*
在一条直线上,B正确。
考虑两圆的位置关系,圆心距d2=[k-(k-1)]2+[3(k+1)-3k]2=10,d=-
rk+1-rk=-(k+1)2--k2=-(2k+1)3->d
∴Ck含于Ck+1之中,排除A
若k↑,r=-k2↑,圆是一个无限大的区域,排除C
把x=0,y=0代入Ck:(k-1)2+9gk2=2k4
若k-1为奇数,k为偶数,上式左边是奇数,右边是偶数;若k-1为偶数时,有同样的结论,∴O(0,0)不满足Ck的方程,D正确。其真命题为B、D。
2. 已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上,其中O为坐标原点,设圆C是OAB的外接圆(点C为圆心)
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)设圆M的方程为(x-4-7cosθ)2+(y-7sinθ)2=1,过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE,PF,切点为E,F,求-g-的最小值和最小值。
解:(1)∵△OAB等边,OA=OB,
又y2=2x的图像关于x轴对称,A与B是关于x轴对称点,∴AB⊥x轴。
设A(-,y),y>0
-=tan30°=-,y=2-,|AB|=4-
△OAB的重心是△OAB的外心,
|OD|=4-g-=6
C(4,0),r=4
∴C (x-4)2+y2=16
分析(2)M(x-4-7cosθ)2+(y-7sinθ)2=1
M的圆心(x0,y0)
x0=4+7cosθ,y0=7sinθ
(x0-4)2+y02=72
M的圆心轨迹是以(4,0)为圆心,以7为半径的圆。
示意图,如下图,|CP|=?
cosθ=-=-
cos2θ=2cos2θ-1=--
-g-=--
若|CP|=8,cosθ=-,cos2θ=--
此时,-g-=-8
∴-8-g---