六年级数学教案——《分数的除法》-查字典数学网
数学六年级数学教案——《分...
首页>数学教研>教学设计>六年级数学...

六年级数学教案——《分数的除法》

2015-10-16

根据量、度量单位(基准量)与量数的基本关系:

量=度量单位(基准量)量数。

我们已经知道:当a、b是自然数,且b0时,除法算式ab表示两种意义:

⑴由量基准量(度量单位)=量数,可知:ab可以表示a是b的几倍或几分之几。这时a与b表示两个量。

⑵由量量数=基准量(度量单位),可知:ab可以表示什么数的b倍等于a,或者把a平均分成b份,每份是多少。这时a表示一个量,b表示量数(用所求的量去度量a所得的结果)。

从实际问题抽象出来的除法算式ab,究竟表示上述两种意义中的哪一种,必须结合具体情景才能来确定。

当a、b为分数时,除法算式ab仍然具有上述两种意义,但必须探索它的算法。分数除法的算法分两种情形来探索:一是除数是整数的情形;二是除数是分数的情形。

一、除数是整数的分数除法

下图(图1)是一个长方形,把它的涂色部分平均分成2份,每份是这个长方形的几分之几?

图1

我们可以从前面的分数墻上直接看出这个结果。

但是,我们还需要探索,从算式2怎么算出结果呢?

算法1:2==。

一个分数的分子缩小到原来的一半,分母不变,所得的分数就是原来的一半。

算法2:因为的一半等于的,所以,

2==。

比较上面两种算法,算法1有局限性,它转化为两个整数的除法运算,可是在整数范围除法并非总能实施,畅通无阻。

如果图1中的涂色部分平均分成3份,每份是这个长方形的几分之几?

算式:3=?

上面的算法1就行不通了,算法2行得通。

因为3=的,所以,

3==。图2

图2中的斜线部分是长方形的,也验证了上面的算法是正确的。

从以上的探索结果,可以产生一个猜想:除以一个整数(零除外)等于乘这个整数的倒数。

这个猜想是否成立?有待检验。

理解分数除法的意义,还有另一条重要途径。

在探索分数乘法意义的时候,我们得到一个重要的数量关系:

量=度量单位量数

从这个基本关系可以引伸出两个变式:

量量数=度量单位,

或量度量单位=量数。

因此,对于除法算式3=?的意义,可以作这样解释:用什么数为度量单位去度量时,量数是3?于是便有下面的代数解法:

设3=x,

可得,3x=,

x=,

x=。

即3=。

在图2中,用斜线部分(即)为度量单位去度量涂色部分(即)时,量数的确是3。这里,我们又看到了,代数的方法与图形的直观相互印证,和谐统一。

代数在解法的过程中,注意到3=x和x=,

得3=。

这也验证了一个数学事实:除以一个自然数(零除外)等于乘这个数的倒数。

二、除数是分数的除法

这个探索其实不必再从具体情景或实际操作入手。

因为前面在探索除数是整数的分数除法的时候,已经获得了重要的数学事实:除以一个自然数(零除外)等于乘这个数的倒数。因此,可以类比,得到猜想:除以一个分数是否等于乘这个分数的倒数呢?

验证这个猜想,除了教材提供的方法外,还有其他途径。

途径1:用代数方法检验。

计算:8=?

设8=x,

可得,x=8,

x=8,

x=12。

注意到8=x和x=8,即8=8。

途径2:从已知到未知的推理。

8=8(1)

=8根据倒数关系:=1

=12。

因此,无论除数是整数还是分数,分数除法只有如下法则:

除以一个数(零除外)等于乘这个数的倒数。

这个法则也告诉我们,倒数概念的重要性:有了倒数,乘法和除法两种不同的运算可以统一为乘法运算。


点击显示
推荐文章
猜你喜欢
附近的人在看
推荐阅读
拓展阅读
  • 大家都在看
  • 小编推荐
  • 猜你喜欢
  •