一、整数乘分数的意义
从下面的数学情景,可以获得整数乘分数的具体意义。
下图(图1)中4个正方形,每个正方形为1个面积单位,涂色部分的面积是多少?
图1
不难看出:涂色部分的面积=的4倍。这是用1个正方形的为度量单位,去度量涂色部分,4是得到的量数。
即+++=
=
=3。
由于+++可以简写为4或4,
所以,4==4,或4==4。①
再看图1,涂色部分的面积=4的。这是用4个正方形视为一个整体,去度量阴影部分,是得到的量数。
所以,4的=的4倍。
即4的=4或4。
所以,乘法算式4(也可以写成4)有两种意义:既可以表示4的,也可以表示的4倍。
应用上面的算法①,进行整数乘分数的必要的练习后,让学生讨论,尝试用自己的语言去总结分数与整数相乘的计算方法,即让学生参与算法的形式化过程。只要学生能说到以下两点,都要加以肯定。
⑴分子和整数相乘;⑵分母不变。
二、分数乘分数的意义
再看下面的数学情景:
下图(图2)中的长方形,面积是1个面积单位,其中斜线的部分是它的,红色部分是斜线部分的。红色部分的面积是多少?
图2
即==。②
这个计算结果是依靠图形直观,看出来的。如果算,应该怎么算呢?这就要求创造一个算法过程,合乎情理地沟通算式②两边的内在联系。学生是有能力进行这个算法过程的再创造的:
==。
再看下图(图3)中的长方形,其中斜线部分是它的,红色部分是它的。红色部分的面积是多少?
图3
因此,乘法算式(也可以写成)也有两种意义:既可以表示的,也可以表示的。
进而,对两个分数相乘的算法也要形式化,即总结算法:分子相乘,分母也相乘。
事实上,如果把整数视为分母是1的分数,那么整数乘分数的乘法就是分数乘分数的特例而已。
如,4=
=
=
=。
三、分数乘法的算理
如上所述,==。
一般地,m、n为非零自然数时,=。这个关系奠定了分数乘法运算的基础。
如,=(3)(5)分数的意义
=15
=分数的意义
=。约分
又如,2=(2+)带分数的意义
=2+乘法分配律
=+分数的乘法
=+通分
=同分母分数的加法
=。约分
或者2=带分数化为假分数
=
=
=。
一般地说,把带分数化为假分数,作乘法运算比较简便。
四、倒数的意义
掌握了分数乘法的计算方法后,我们同样能够获得前面从分数墻上发现的乘法算式:
2=1,=1,=1,=1,
=1,=1,=1。
基于这些特殊的乘法算式,又引出一个重要的概念--倒数。
如果两个数的乘积是1,那么我们称其中一个数是另一个数的倒数。例如,的倒数是2,2的倒数是,2与是互为倒数。
0为什么没有倒数?
一般的解释是,因为0乘任何数都得0,积不可能是1。
其实,也可以回顾上面那些乘积是1的算式,是怎么从分数墻上发现的。因为量=度量单位量数,当量是1时,度量单位量数=1。即当量是1时,度量单位与量数互为倒数。
但是把0作为度量单位是没有实际意义的,用它量不出任何结果。所以,0不可能是任何数的倒数,因此0也没有倒数。