钉子板上的多边形
教材第108、第109页的内容。
1.探索并初步发现钉子板上多边形内有1、2、3个钉子的多边形的面积与多边形上钉子数之间的关系,激发进一步探索钉子板上的多边形面积与钉子数关系的兴趣。
2.巩固用字母表示数量关系的相关知识。
3.经历探索过程,体会归纳思想,感悟发现问题、提出问题的魅力。
探索钉子板上的多边形的面积与钉子数的关系。
点子图,钉子板,细绳子。
1.投影呈现一个钉子板上的多边形。
说明:每相邻的4个钉子构成一个正方形,边长是1,面积是1个面积单位。
提问:这个图形有几个面积单位?你是怎么知道的?
组织交流:
(1)用面积公式计算;(2)分割数方格。
2.启发:你能再围一个面积和刚才的不一样的多边形吗?在围的过程中想一想多边形的面积可能跟什么有关呢?
学生动手围一围,同桌相互说一说是怎样求出面积的。
3.追问:多边形的面积跟哪里的钉子数有关?
4.揭题:面积与钉子数之间是否存在一定的规律呢?我们这节课就来研究钉子板上的多边形的面积与钉子数之间的关系。
提问:想一想,我们可以怎样来研究?
(提出猜想——验证猜想——概括结论)
1.个例发现,形成猜想。
出示一组钉子板上的多边形。
提问:每个多边形各有多少个面积单位?每个多边形边上的钉子各有多少枚?先数一数、算一算,把结果填入表中,再和同桌说说你的发现。
学生独立计数,完成表格。
出示资源:
提问1)校对结果。
(2)你有什么发现?
全班交流1)多边形边上的钉子数越多,面积就越大。
(2)多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半。
如果用S表示多边形面积,n表示多边形边上的钉子数,你能用字母表达式表示这一发现吗?动手写一写。
2.举例验证,明确前提。
引导:由刚才这四个图形,有了这样的发现,这一发现是否也适用于钉子板上的其他图形呢?我们还要举例验证。
要求:在钉子板上画一些多边形,验证刚才的发现。
并列呈现学生资源,引导观察。
(1)符合规律;
(2)不符合规律。
提问:看来刚才的发现并不适合钉子板上的所有图形,到底怎样的图形才具有这样的规律呢?它们有什么共同的特点?仔细观察,把你的发现说给同桌听听。
指名交流:多边形中间只有一枚钉子时符合上面的规律。
3.归纳概括,形成结论。
总结:看来要使这一发现成立,还要加个前提,谁能把这个规律完整地说一说?
同桌之间互相说一说,再指名交流。
当多边形内只有1枚钉子时,多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半。
如果把多边形里面的钉子数用a来表示,完善字母表达式。
总结:看来钉子板上的多边形的面积不仅跟多边形边上的钉子数有关,还跟多边形里面的钉子数有关。
正因为面积和两个量都有关系,所以我们研究的时候先确定一个量(多边形里面的钉子数)。
1.探究多边形内有2枚钉子的情况。
多边形内只有1枚钉子的情况已经研究了,往下我们应该研究什么呢?
当多边形内有2枚钉子时会有怎样的规律呢?同学们也像刚才那样画一些形内只有2枚钉子的多边形,老师这里也提供一些,算一算,数一数, 多边形有几个面积单位?多边形边上的钉子数有几枚?把结果填入表中,再与同桌说说你的发现。
过程指导:也像刚才那样,把钉子数除以2,再跟面积进行比较。看看有什么规律。
如果用字母表达式来表示这一规律应该怎么写?
学生独立探究,发现规律。
个别交流:当多边形内有2枚钉子时,多边形的面积等于多边形边上的钉子数÷2+1
同桌之间互说规律。
学生独立完成。
板书:当a=2时,S=n÷2+1
2.推想多边形内有2枚以上钉子的情况。
提问:比较这两个规律,你觉得a=3、4时会有怎样的规律?如果你能推想出规律,那就直接写出你的猜想,然后举例验证,如果不能,那也像刚才那样先画出图形内有3枚钉子的多边形,再数一数、算一算,看看有什么规律。左边的同学研究a=3的情况,右边的同学研究a=4的情况。
分工合作,推想规律。
个别交流规律。
当a=3时,S=n÷2+2
当a=4时,S=n÷2+3
3.归纳推理,形成一般公式
像这样推想下去,当a=m时,S=?
学生独立完成。
个别交流:
当a=m时,S=n÷2+m-1
同学们,今天我们通过对多边形内有1枚、2枚、3枚、4枚钉子的多边形的研究,发现多边形的面积单位的个数与钉子数之间的关系,并归纳推理出一般公式,当a=m时,S=n÷2+m-1,这一公式对于多边形内有5枚、6枚、7枚……甚至更多钉子时是否成立,我们还需举例验证。
下面是用橡皮筋在钉子板上围成的图形,每个图形的内部都只有1枚钉子。
先算出每个图形的面积,再数一数每个图形的边经过多少枚钉子。
(1)用式子表示图形的边经过的钉子数n和图形的面积S之间的关系。
(2)如果图形的内部有2枚钉子,结果会怎样?
课堂作业新设计
(1)S=n÷2 (2)S=n÷2+1
计算面积和数钉子略。