二 多边形的面积
一、平行四边形的面积
1.运用转化法求图形的面积。
把不规则的图形通过切割、平移等方法转化成学过的规则的基本图形。
2.把平行四边形转化成长方形。
(1)通过观察可知:转化成的长方形的面积与平行四边形的面积相等;长方形的长等于平行四边形的底,长方形的宽等于平行四边形的高。
(2)长方形的面积=长×宽
↓ ↓ ↓
平行四边形的面积=底×高
(3)用字母表示平行四边形的面积公式。
用S表示平行四边形的面积,用a和h分别表示平行四边形的底和高,得S=a×h。
3.平行四边形面积公式的应用。
已知平行四边形的底、高和面积三个量中的任意两个量,都可以求出第三个量,即S=a×h,h=S÷a,a=S÷h。
二、三角形的面积
1.三角形与拼成的平行四边形的关系。
(1)通过观察发现:每个三角形的面积都是它所在的平行四边形面积的一半,也可以说拼成的平行四边形的面积是三角形面积的2倍。
(2)完全相同的两个三角形可以拼成一个平行四边形。
(3)拼成的平行四边形的底等于三角形的底,高等于三角形的高。
2.三角形的面积公式。
平行四边形的面积÷2=长×宽÷2
↓ ↓ ↓
三角形的面积=底×高÷2
三角形面积的字母公式:S表示面积,a表示底,h表示高,S=a×h÷2。
3.三角形面积公式的应用。
已知三角形的底、高、面积三个量中的任意两个量,就可以求出第三个量,即S=a×h÷2,h=2S÷a,a=2S÷h。
三、梯形的面积
1.用分割、添补的方法求梯形的面积。
(1)先把梯形分割成学过的规则的基本图形,再把分割成的图形的面积相加即可。
(2)用添补的方法,补一个完全相同的梯形,拼成一个平行四边形(如下图)。梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。
2.梯形与拼成的平行四边形的关系。
观察上图可知:拼成的平行四边形的面积是两个完全相同的梯形面积的和;拼成的平行四边形的底等于梯形的上底与下底的和,拼成的平行四边形的高等于梯形的高。
3.梯形的面积公式。
平行四边形的面积=底×高
↓ ↓ ↓
平行四边形的面积÷2=底×高÷2
↓ ↓ ↓
梯形的面积=(上底+下底)×高÷2
如果用S表示梯形的面积,用a、b和h分别表示梯形的上底、下底和高,那么S=(a+b)×h÷2。
4.梯形面积公式的应用。
a=2S÷h-b b=2S÷h-a h=2S÷(a+b)
四、公顷和平方千米
1.认识公顷。
(1)测量或计量土地面积,通常用公顷作单位。公顷可以写成hm2。
(2)公顷和平方米之间的进率。
边长100米的正方形土地的面积是1公顷,也是100×100=10000(平方米),所以1公顷=10000平方米。
(3)平方米和公顷之间的换算。
40000平方米=( )公顷
因为1公顷=10000平方米,40000里有4个10000,即40000÷10000=4,所以40000平方米=4公顷。
2.认识平方千米。
(1)测量或计量大面积的土地,通常用平方千米作单位,平方千米可以写成km2。
(2)1平方千米的大小。
边长1000米的正方形土地,面积是1平方千米。
(3)平方千米、平方米和公顷之间的换算关系。
边长1000米的正方形土地的面积是1000×1000=1000000(平方米),所以1平方千米=1000000平方米;1平方千米=100公顷;1平方千米=100公顷=1000000平方米。
五、组合图形的面积
1.规则组合图形的面积。
观察上图可知:计算组合图形的面积时,可以先把它分割成已经学过的简单的基本图形,分别计算出面积,再相加;也可以先添补成学过的图形,计算出添补后整个图形的面积,再减去添补图形的面积。
2.不规则图形的面积。
可以采用数方格的方法来估计不规则图形的面积。
重点提示:图形通过转化,其本身的大小是不变的。
知识巧记:
图形转化真有趣,
剪拼平移显神奇;
仔细观察巧移位,
计算面积很容易。
易错题单位:cm)
7×6=42(cm2)
错因分析:求平行四边形的面积时,要用底去乘与这个底相对应的高。
答案:4×6=24(cm2)
易错题:两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形。 (√)
错因分析:面积相等,形状不一定相同。两个完全相同的三角形才可以拼成一个平行四边形。
答案:✕
重点提示:三角形的面积等于同它等底等高的平行四边形面积的一半。
易错题:
4×3=12(cm2)
错因分析:没有正确运用三角形的面积公式“底×高÷2”。
答案:4×3÷2=6(cm2)
提示:两个完全相同的梯形才可以拼成一个平行四边形。
拓展提高:
其他求梯形面积的方法:
1.转化成三角形。
2.转化成平行四边形。
3.转化成长方形。
4.转化成两个三角形。
知识巧计:
梯形面积不算难,
底高数量仔细看;
两底之和乘上高,
除以2后才算完。
换算技巧:在单位换算时,把高级单位换算成低级单位要乘进率,把低级单位换算成高级单位要除以进率。
亲身体验:
1.体验1公顷的大小:足球场的面积大约为1公顷;在操场上实地测量边长100米的正方形,其面积为1公顷。
2.空间想象1000米的距离,体会1平方千米的大小。
易错题:
(1+7)×5÷2+1×7=27(cm2)
错因分析:此题错在分割后梯形的高上。分割后梯形的高不包括长方形的宽了。
答案1+7)×(5-1)÷2+1×7=23(cm2)
用数方格的方法求不规则图形面积的技巧:
可以先数整格和超过半格的,把超过半格的当作整格数,不足半格的忽略不计。