高考数学知识点汇总函数的奇偶性与周期性
知识要点：
一、函数的奇偶性
1.定义：对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数;
对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数;
2.性质：
(1)函数依据奇偶性分类可分为：奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既奇且偶函数，非奇非偶函数;
(2) f(x),g(x)的定义域为D;
(3)图象特点：奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于原点对称;
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件，奇函数f(x)在原点处有定义，则有f(0)=0;
(5)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的形式：f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=-[f(x)+f(-x)]为偶函数，h(x)=-[f(x)-f(-x)]为奇函数;
(6)奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性。
3.判断方法：
(1)定义法
(2)等价形式：f(-x)+f(x)=0，f(x)为奇函数;
f(-x)-f(x)=0,f(x)为偶函数。
4.拓展延伸：
(1)一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x，都有f(a+x)=2b-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称;
(2)一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x都有f(a+x)=f(a-x)，则它的图象关于x=a成轴对称。
二、周期性：
1.定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当自变量x取定义域内的每一个值时，都有f(x)=f(x+T)成立，那么就称函数y=f(x)为周期函数。
2.图象特点：
将函数y=f(x)的图象向左(右)平移的整数倍个单位，所得的函数图象与函数y=f(x)的图象重合。
3.函数图象的对称性与周期性的关系：
(1)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)，(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：2|a-b|)
(2)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=-f(b-x)，(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：2|a-b|)
(3)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)，(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：4|a-b|)
典型例题
例1：判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=(x-1)■
解：函数的定义域为x{x|-11}
函数f(x)=(x-1)■为f(x)非奇非偶函数
(2) f(x)=loga(-x+-)
解：xR
f(-x)=loga(x+-
=loga-
=-loga(-x+-)=-f(x)
f(x)为奇函数
(3)f(x)=x(-+-)
解：x{xR|x0}
f(-x)-f(x)=-x(-+-)-x(-+-)
=-x(-+-+1)=0
f(x)为偶函数
(4)f(x)=-
解：1+cosx+sinx0
sin(x+-)--，x{x|x2k-且x2k--，kR}
定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数
说明：
1.判断函数的奇偶性首先要检验定义域是否关于原点对称。特别应注意，求解定义域时，不能化简解析式后再求解。
2.在判断是否有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立时，必要时可使用等价变形形式：f(-x)f(x)=0
例2：(1)已知：f(x)是奇函数，且x0时f(x)=x|x-2|
求x0的解析式
解：设x0,则-x0
-，
说明：1.利用函数的奇偶性求解析式，要将自变量x设在所求的范围内。
2.转化带入利用定义构造方程。
(2)定义在R上的奇函数f(x)且满足f(3+x)=f(3-x)，若x(0,3),f(x)=2x
求：当x(-6,-3)时，f(x)的解析式。
解：x(-6,-3) -x(3,6),6-(-x)(0,3)
-
f(x)=-2x+6
说明：1.合理分解题意是关键。
2.此题还可以应用周期性进行求解。
例3：已知：函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x)
(1)求证：f(x)为周期函数;
(2)若f(x)为奇函数，且当01时，f(x)=-x，求使得f(x)=--的所有x。
(1)解：-
f(x)=f(x+4)
f(x)为周期是4的周期函数。
(2)解：x[-1,0],-x[0,1]
-
f(x)=-x,x[-1,0]
f(x)=-x,x[-1,1]
x(1,3),-1
-
f(x)=--(x-2),x[1,3]
-
x[-1,3),f(x)=--,x=-1
x=4n-1,nZ