中考数学几何辅导：三角形相似的判定
一、教学内容：人教版初中几何第二册5.4《三角形相似的判定》(第一课时)
二、教学目标
知识目标：1、经历三角形相似的判定定理1的探索及证明过程。
2、能应用定理1判定两个三角形相似，解决相关问题。
能力目标：1、让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析
问题、解决问题的能力。
2、正确应用三角形相似的判定定理1，培养学生的思维能力。
3、渗透类比、化归的数学思想和用数学的意识。
情感目标：通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造快乐。
三、教学重点与难点
根据定理1重要地位和证明的复杂性,确定重难点为：
重点：三角形相似的判定定理1及应用。
难点：三角形相似的判定定理1的证明。
四、教学过程
㈠点燃思维火花、引入新课(3分钟)
1、复习相似三角形的定义和三角形相似的预备定理。
2、新课引入的好坏在某种程度上关系到课堂教学的成败，本节课选择以旧孕新为切入点，创设问题情境，引入新课：
现有一张三角形玻璃ABC,不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整(如图)。如果用这两个角去配制一张完全一样的玻璃，能成功吗?
㈡实验猜想，证明过程(20分钟)
1、猜想结论
问题情景出现后，让学生充分发表自己的想法。可能出现有的学生认为能成功，有的学生认为不能成功，有的学生感到茫然，有的学生提出不妨试一试。于是，动手实验：
现在，已量出∠A=60°，∠B=45°，请同学们当一当工人师傅，在纸片上作∠A=60°，∠B=45°的ΔABC，剪下与同桌所做的三角形比较，研究这两个三角形的关系。你有哪些发现?在小组内交流。
学生动手操作,教师巡回指导，启发点拨。
学生经过画一画、剪一剪、量一量、算一算、拼一拼，在小组合作基础上，讨论交流，可能得出下面结论：
①这样的两个三角形不一定全等。
②两个三角形三个角都对应相等。
③通过度量后计算，得到三边对应成比例。
④通过拼置的方法(方法如图的三种之一，让学生演示拼置方法)，发现这两个角形可能相似。
此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题：猜想：两角对应相等，两三角形相似。
2、分析证明，形成定理
(1)提问：我们通过实验操作得到的猜想在任意情况下都成立吗?
让学生体会到：需要证明。进而让学生画出图形，写出已知、求证。
已知：如图ΔA’B’C’和ΔABC中，∠A’=∠A，∠B’=∠B。求证：ΔA’B’C’∽ΔABC
(2)分析思路：写完已知、求证后，放手让学生探寻证明思路。
可能出现以下问题：
问题1：我们证明这两个三角形相似的思路是什么呢?
由于学生能用的只有定义或预备定理,因此思路容易受阻。思维受阻时，请学生再演示拼置的方法：把ΔA’B’C’移到ΔABC上来。由学生发现证明的思路。
问题2：怎样用几何语言表述“把ΔA’B’C’移到ΔABC上来”并证明ΔA’B’C’∽ΔABC呢?
学生在独立思考的基础上，小组讨论交流,让学生随时展示自己的想法，可能得出下面的证法：
方法1：如左图1，在AB上截取AD=A’B’，过D作DE∥BC交AC于E。用ASA可以证明ΔADE≌ΔA’B’C’，用预备定理可证明ΔADE∽ΔABC，所以ΔA’B’C’∽ΔABC。
方法2：如左图2，在BC上截取BD=B’C’，在BA上截取BE=A’B’，连结DE。用SAS证明ΔBDE≌ΔA’B’C’，再证DE∥AC得ΔBDE∽ΔABC，所以ΔA’B’C’∽ΔABC。
方法3：如左图3，在BC上截取CD=B’C’，再过D作DE∥AB交AC于E。(可能有学生问：这种方法的证明和方法1不是完全一样吗?学生思考需先证∠C=∠C’,培养思维的严密性。)
方法4：在BA延长线截取AD=A’B’，过D作DE∥BC交CA延长线于E。如左图4证明过程和方法1相同。
同学们找到了猜想证明方法，如果你还能从不同角度研究，或许还有新的方法。下面请大家选一种你喜欢的证法，写出证明过程。
(3)证明：学生写出证明过程，抽取学生的证明在实物投影仪上展示。
证明：在△ABC的AB上截BD=B’A’，过D作DE∥AC，交BC于E。
∴△ABC∽△DBE
∵∠BDE=∠A，∠A=∠A’
∴∠BDE=∠A’
∵∠B=∠B’，BD=B’A’
∴△DBE≌△A’B’C’
∴△ABC∽△A’B’C’
(4)总结思路，渗透类比、化归的思想
(5)学生读书P228页，形成判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。
现在学生可以回答前面实例配制和原来完全一样的三角形玻璃不一定成功。
㈢例题学习(5分钟)
例、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原来三角形相似。
已知：如图、在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高。
求证：△ABC∽△ACD∽△CBD
㈣巩固练习(10分钟)
1、判断题：
(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似。()
(2)所有的直角三角形都相似。()
(3)有一个角相等的两个等腰三角形相似。()
(4)顶角相等的两个等腰三角形相似。()
2、已知：△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′=75°，∠C=50°，∠A′=55°，问：这两个三角形相似吗?为什么?
解：在△ABC中，
∵∠B=75°，∠C=50°
∴∠A=55°
∴∠B=∠B′，∠A=∠A′
∴△ABC∽△A′B′C′
3、如图，已知D是△ABC的边AB上任一点，DF∥AC交BC于E。AF交BC于M，且∠B=∠F，△AMC∽△BDE吗?请说明理由?
分析：用定理“两角对应相等，两三角形相似”时，要注意图形中的公共角、对顶角、直角、两直线平行时的同位角、内错角或等角的余角、补角等等。
4、开放性题目：
已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是AC边所在直线上一点，且ED⊥AB交AB(或AB延长线)于点D。思考：当点E在直线AC上运动时观察图中出现的相似三角形。
㈤课堂小结(5分钟)
提问：“通过这节课的学习有什么收获?”
让学生同桌间畅谈自己的学习感受和体会，并请个别学生发言。
㈥课外作业(2分钟)
1、课本P238习题5.3的3、4
2、(操作题)如图，工程师想利用小河边的空地测量小河宽AB，他的手边有测角仪、皮尺和一些标志杆，请你帮他设计测量方案。