1.根的判别式
一元二次方程 的根的情况可以由 来判定,我们把 叫做一元二次方程 的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示。
对于一元二次方程 ,有
⑴、当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根 ;
⑵、当Δ=0时,方程有两个相等的实数根 ;
⑶、当Δ<0时,方程没有实数根。
例1:判定下列关于 的方程的根的情况(其中 为常数),若方程有实数根,写出方程的实数根。
⑴、x2-3x+3=0; ⑵、x2-ax-1=0;
⑶、x2-ax+(a-1)=0; ⑷、x2-2x+a=0。
例2: 取何值时,方程 有两个相等的实数根,并求出方程的这两个根。
2.根与系数的关系(韦达定理):
如果 的两根分别是 ,那么 , 。
特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程 ,若 是其两根,由韦达定理可知 , ,即 ,所以,方程 可化为 ,由于 是一元二次方程 的两根,所以, 也是一元二次方程 的两根。
以两个数 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。
例3:已知方程 的一个根是2,求它的另一个根及k的值。