专题1-1 函数专题复习1答案
1. ;
2.提示:设f(x)=ax+b(a≠0),则f[f(x)]=af(x)+b=a (ax+b)+b=a2x+ab+b,
∴ 或 ,∴ f(x)=2x+1或f(x)=﹣2x﹣3.
3.π+1;4.③;5. ;6.[a,-a];7.{y|-6≤y≤0};8. ;
9. 提示: 因函数y=lg(x2+ax+1)的定义域为R,故x2+ax+1>0对x∈R恒成立,而f(x)= x2+ax+1是开口向上的抛物线,从而△0,函数f(x)=-2asin+2a+b,f(x)的值域是[-5,1],则a的值为_______.
解析:∵sin∈[-1,1],
∴-2asin∈[-2a,2a],
∴f(x)∈[b,4a+b].
∵f(x)的值域是[-5,1],
∴b=-5,4a+b=1,解得a= >0. 因此a= .
变式(一)已知函数f(x)=-2asin+2a+b,f(x)的值域是[-5,1],则a的值为_____.
解析:当a>0时,同上.
当a=0时,f(x)为常函数,不合题意.
当a0. 因此a=2.
8. 若角A、B为锐角三角形ABC的内角,且函数 在 上为单调减函数,则下列各式中能成立的有________.(请填写相应的序号).(3)
(1) ;(2) ;(3) .
解析: 角A、B为锐角三角形ABC的内角,
, , .
.
在 上单调递增,
.
.
在 上为单调减函数, .
9.已知f(x)=sin (ω>0),f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω=_____.
解析:由题意x==时,y有最小值,
∴sin=-1,∴ω+=2kπ+(k∈Z).
∴ω=8k+ (k∈Z),因为f(x)在区间上有最小值,无最大值,所以-≤,即ω≤12,所以k=0.所以ω=.
变式:设函数 是常数, .若 在区间 上具有单调性,且 ,则 的最小正周期是_____.
解析: 在 上具有单调性,
, .
又 ,且 ,
的图象的一条对称轴为 .
又 ,且 在区间 上具有单调性,
的图象的与对称轴 相邻的一个对称中心的横坐标为 ,
,
.
10. 已知 , ,则 =_____.
解析:由已知得 ,
若 ,则等式不成立,
, .
同理可得 .
,
.
,
. .
, .
变式:已知 ,且满足 , ,则 ___.
解析:∵ ,∴ .
令 ,则由 知 .
∵ ,
∴ ,即 ,
.
整理 ,即 ,解得 或 .
.即 .
二、解答题.
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈[0,π))的图象如图所示.
求f(x)的解析式.
解:由图可得A=3,
f(x)的周期为8,则=8,即ω=.
又f(-1)=f(3)=0,则f(1)=3,所以sin=1,
即+φ=+2kπ,k∈Z.又φ∈[0,π),故φ=.
综上所述,f(x)的解析式为f(x)=3sin.
12.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),求tan θ.
解法一:解方程组得,
或(舍).故tan θ=-.
解法二:因为sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),
所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,
所以sin θcos θ=-.
由根与系数的关系,知sin θ,cos θ是方程x2-x-=0的两根,所以x1=,x2=-.
因为θ∈(0,π),所以sin θ>0.
所以sin θ=,cos θ=-.所以tan θ==-.
解法三:同法二,得sin θcos θ=-,
所以=-.弦化切,得=-,
即60tan2θ+169tan θ+60=0,
解得tan θ=-或tan θ=-.
又θ∈(0,π),sin θ+cos θ=>0,sin θcos θ=-0,cos θ0.
所以 .
解方程组 得,
故tan θ=-.
13.若关于 的方程 有实根,求实数 的取值范围.
解法一:原方程可化为 即 .
令 ,则方程变为 .
∴原方程有实根等价于方程 在 上有解.
设 .
若 则a=2;若 则a=0.
①若方程在 上只有一解,则 ;
②若方程在 上有两解,由于对称轴为直线 ,
则 .
综上所述 的取值范围是 .
解法二:原方程可化为 即 .
令 ,则方程变为 即 .
设 ,则易求得 ; .
∴ ,也就是 .
故 的取值范围是 .
14.设 ,若函数 在 上单调递增,求 的取值范围.
解:令 ,则 .
, 在 单调递增且 .
在 上单调递增,
在 单调递增.
又 , ,
而 在 上单调递增,
.
, . .
变式(一)已知函数 在 内是减函数,求 的取值范围.
解:令 ,则 .
在 上单调递增,
而函数 在 内是减函数,
在 内是减函数. .
, .
, ,
.
, .
变式(二)函数 在 上单调递减,求正整数 的值.
解:令 ,则 .
, ,
在 单调递增且 .
函数 在 上单调递减,
在 上单调递减,
.
, .
则 ,即 ,故k=0或k=1.
当k=0时, , .
当k=1时, , .
综上 .
专题1-4 三角恒等变换专题复习答案
一、填空题.
1.cos 15°cos 45°-cos 75°sin 45°的值为________.
解析:cos 15°cos 45°-cos 75°sin 45°=cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45°=cos(15°+45°)=cos 60°=.
答案:
2.函数f(x)=coscos的最小正周期为________.
解析:因为f(x)=coscos
=-sin x·
=sin2 x-cos xsin x
=- cos 2x-sin 2x
=-cos,所以最小正周期为T==π.
答案:π
3.已知sin α=,α是第二象限角,且tan(α+β)=1,则tan 2β=________.
解析:由sin α=且α是第二象限角,得tan α=-,
tan β=tan[(α+β)-α]=7,
∴tan 2β==-.
答案:-
4.已知tan α=4,则的值为________.
解析:=,
∵tan α=4,∴cos α≠0,
分子分母都除以cos2α得
==.
答案:
5.若α+β=,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________.
解析:-1=tan=tan(α+β)=,
∴tan αtan β-1=tan α+tan β.
∴1-tan α-tan β+tan αtan β=2,
即(1-tan α)(1-tan β)=2.
答案:2
6.sin 10°cos 20°sin 30°cos 40°=________.
解析:sin 10°cos 20°sin 30°cos 40°
=×
=
===.
答案:
7.设 为锐角,若 ,则 的值为________.
解法一:因为 为锐角,所以 ,
因为 ,所以 .
于是 ,
.
于是 , .
因为 , ,
所以 .
解法二:设 .
因为 为锐角,所以 ,而 ,于是 .
从而 .
故 .
8.已知 , ,则 的值是________.
解析:设 ,
则 .
∴ ,
∴ .
, , .
变式:若 ,则 的取值范围是________.
解析:令 ,则 ,
即 ,
, .
∵ ,∴ ,解得 .
故 的取值范围是 .
9.已知 和 均为锐角,且 , .则 _______.
解析: , .
又 , , .
. .
变式:已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,则2α-β=_______.
解析:∵tan α=tan[(α-β)+β]=
==>0,∴0