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[2015·德阳二诊]已知函数f(x)=xln x-x+2(1)x2-3(1)ax3，f′(x)为函数f(x)的导函数.
(1)若F(x)=f(x)+b，函数F(x)在x=1处的切线方程为2x+y-1=0，求a、b的值;
(2)若f′(x)≤-x+ax恒成立，求实数a的取值范围;
(3)若曲线y=f(x)上存在两条倾斜角为锐角且互相平行的切线，求实数a的取值范围.
解 (1)F(x)=xln x-x+2(1)x2-3(1)ax3+b，
F′(x)=ln x+x-ax2，
∵切点为(1，-1)，切线斜率为k=-2，
∴F′(1)=-2(F(1)=-1)⇒2()⇒2(1)，
故a=3，b=2(1).
(2)f′(x)=ln x+x-ax2，
f′(x)≤-x+ax恒成立⇔当x>0时，a≥x2+x(ln x+2x)恒成立.
令G(x)=x2+x(ln x+2x)(x>0)，则a≥G(x)max，
G′(x)=(x2+x)2((x2+x)-(ln x+2x)(2x+1))
=-(x2+x)2((2x+1)(x-1+ln x))，
令g(x)=x-1+ln x(x>0)，g(x)在(0，+∞)递增，且g(1)=0，
∴当x∈(0,1)时，x-1+ln x<0，G′(x)>0，
当x∈(1，+∞)时，x-1+ln x>0，G′(x)<0，
∴G(x)在(0,1)递增，在(1，+∞)递减，
∴x=1时，G(x)max=1，
∴a≥1.
(3)f′(x)=ln x+x-ax2，令g(x)=f′(x)=ln x+x-ax2(x>0)，
g′(x)=x(1)+1-2ax=x(-2ax2+x+1).
令h(x)=-2ax2+x+1(x>0)，
当a≤0时，h(x)>0，
∴g′(x)>0，g(x)在(0，+∞)递增，不适合.
当a>0时，h(x)的Δ=1+8a>0，设方程h(x)=0的二根为x1、x2，则x1·x2=-2a(1)<0，不妨设x1<0
∴当x∈(0，x2)时，g′(x)>0，
当x∈(x2，+∞)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(0，x2)递增，在(x2，+∞)递减，
∴g(x2)>0(+x2+1=0)⇒>0(2)②(①)
由①得：ax2(2)=2(x2+1)代入②整理得：
2ln x2+x2-1>0③
∵函数u(x)=2ln x+x-1在(0，+∞)递增，u(1)=0，
∴由③得：x2>1，
由①得：2a=2(2)=2(1)2-4(1)，
∵0<1/x2<1,
∴0<2a<2。
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