"非欧几何" 的发现是19世纪最大的数学进展之一. 主要的先驱人物是俄国的罗巴切夫斯基, 匈牙利的鲍耶, 和德国的高斯. 非欧几何的故事已经流传很广了, 它与欧氏几何的不同就在于所谓欧氏平行公理: 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 如果把这条公理改成 "过直线外一点有两条以上的直线与已知直线平行", 而保持其它公理不变, 就得到一种新的几何, 称为非欧几何. 关于非欧几何的文章发表于 1830 年左右. 有迹象表明高斯在早些年就得到了一些结果. 然而非欧几何这个名称在 1854 年黎曼的就职演讲发表以后含义就不够精确了(因为黎曼提供了无穷多种“非欧”的几何形态), 现在大部分数学家把上述这种公理化几何称为"双曲几何".
19世纪还出现了一种几何叫射影几何. 研究这种几何的动机是非常贴近生活的 ------ 它主要研究 "中心投影" 现象。通俗一点说, 如果有一盏灯, 它照射在纸面上, 那么纸面上的图形在地面上的投影是怎么样的? 最明显的就是, 纸面上的圆周在灯光下的影子一般不再是圆周, 可能是个椭圆周; 然后注意到, 如果纸面不平行于地面, 纸面上两条平行的直线在灯光下的投影可能不再平行; 更奇异的现象是, 如果纸面足够大，它上面的一个圆周也足够大, 使得圆周上有些点比电灯所处位置更高, 那么这个圆周在地面上的投影就会是双曲线. (记得高中的解析几何课本封面上绘有一个圆锥面, 用不同的平面去截就得到不同的圆锥曲线. 如果把锥的顶点视为一盏灯, 就容易看到所有这些圆锥曲线都可以互为中心投影.)
还有一种几何是研究平行投影下图形怎么变化的, 叫做 "仿射几何". 如果把上面的灯换成太阳, 由于距离太远, 在小范围内是非常精确的平行投影 ------ 纸面上两条平行直线总是投射为地面上的平行直线. 圆周会投射为椭圆周, 但决不会是双曲线。
在 1872 年, 所有这些几何把数学家搞懵了 ------ 到底什么是几何? 这时候 23 岁的德国人克莱因在爱尔朗根大学为其教授就职演讲准备了一篇讲稿 ------ 这篇稿子后来被称为爱尔朗根纲领 ------虽然他后来的演讲并没有讲这个讲稿上的内容. 这篇讲稿提出, 每一种几何对应一个变换群, 这种几何研究的对象是各种形体在相应变换群下不变的性质.
"群" 是描述对称性的数学结构. 变换群被伽罗瓦发明出来研究代数方程的可解性. 而克莱因的合作者挪威人李(Lie)到 1872 年已经研究了某些连续的变换群, 现在称为 Lie 群. 以上所说的这几种几何都对应到不同的 Lie 群.
现在我们从克莱因的爱尔朗根纲领来看待以上提到的这些几何:
欧氏几何是 "最小" 的几何, 研究的就是长度啊, 全等啊这些性质. 对应的群就是所谓 "欧氏变换群", 它里面的元素包括平移, 旋转, 反射以及它们的累次作用. 这些变换保持长度不变; 我们说两个图形是 "全等" 的当且仅当有一个欧氏变换把一个图形变为另一个.
我们初中高中的时候还研究相似三角形. 这种包含“相似性”的几何对应到什么变换群?我们可以把 "欧氏变换群" 扩大, 即, 加入 "伸缩" 这个变换, 这样就得到更大的 "相似变换群". 我们能用相似变换把不同长度的对象 "等同" 起来, 比如不同半径的圆周, 在相似几何中就被视为同样的图形. 三角形的 "相似" 就是相似几何中的 "全等". 这个相似变换群包含欧氏变换群, 所以在这个群下不变的性质自然在欧氏变换群下不变, 也就是说, "相似几何" 的概念都是欧氏几何的概念. 反过来就不对, 举个例子, 长度是欧氏几何的概念, 但不是相似几何的概念. 这句话说得直白一点就是，几何体的长度在欧氏变换群下不变，但在相似变换群下有可能改变。
仿射几何是更大的几何. 对应的群叫 "仿射变换群", 包括平移, 线性变换以及它们的累次作用. 线性变换的意思基本上就是那些把直线还变到直线的变换。由于旋转, 反射, 伸缩都是特殊的线性变换, 所以仿射变换群包含相似变换群. 在仿射几何里, 圆和椭圆是同一种图形; 所有的平行四边形都 "全等"; ... 在这个几何里, 长度, 角度都失去意义, 能谈论的只能是平行性质, 或者共线三点的分比(单比), 等等这些很 "粗略" 的性质.
射影几何是以上提到的几何中 "最大" 的几何. 从仿射几何到射影几何的扩张, 比之前的几次扩张要复杂得多. 特别地, 我们需要给平面添上 "无穷远直线" 来使得射影变换是一对一变换. 这其实很容易理解，如果纸面不平行于地面，那么从光源水平射出的光线就只与纸面相交而不与地面相交，这样它与纸面的交点在射影变换下就没有像。如果我们假设地面的无穷远处存在所谓“无穷远点”，那么就可以把这些无穷远点作为水平光线与地面的交点。平面的所有无穷远点构成无穷远直线。在射影几何中, 所有圆锥曲线 ------ 椭圆, 双曲线, 抛物线, 都是 "全等" 的图形. 所以射影几何研究的性质是最 "粗略" 的性质, 比如曲线的 "次数": 直线是由一次方程定义的曲线, 圆锥曲线是由二次方程定义的曲线; 再比如共线四点的交比. 射影几何是非常有趣的几何, 有很多 "巧合", 部分原因就是这个几何的变换群非常大, 对称性高. 同志们如果实在闲得无聊, 可以找本书看看, 书名一般叫做 "Projective geometry".
对于熟悉计算机的同志, 可以看出在每种几何里我们都 "重载" 了 "全等" 这个概念 ------这正是关键所在 ------ 凡是能用一个变换互相转换的对象, 我们都看成同样的对象. 自爱尔朗根纲领提出以来, 对称性(群论)日益收到重视, 到了今天, 已经成为根深蒂固的观念. 物理学中, 自相对论、量子力学以来, 对称性也被作为基本原理, 到了 1970 年代, 物理学家发现自然界四种基本相互作用的根源都是对称性. 由此可见伽罗瓦, 李, 克莱因这些前辈的深刻洞察力.
最近俄罗斯数学家佩雷尔曼解决了百万美元问题 "庞加莱猜想" 及更广泛的 "瑟斯顿几何化猜想". 后面这个猜想就是天才的瑟斯顿继承爱尔朗根纲领的精神给出的解决三维流形分类问题的蓝图. 具体内容如何, 且待下回分解.