学会、会学、乐学
——“数学广角（重复）”教学设计与思考
徐长青
教学内容：人教版《数学》第六册第八单元“数学广角（重复）”。
教学目标：
“学会”：使学生借助贴近生活的情境，利用集合的思想方法，解决简单的实际问题，并能运用数学语言进行描述。
“会学”：使学生掌握解决重复问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性。
“乐学”：通过丰富、直观的游戏活动，发展形象思维，提升抽象思维能力；使学生在主动参加数学活动的过程中获得成功的体验，提高学生学习数学的兴趣与能力。
教学重点：通过具有现实意义的数学活动，帮助学生自主建构集合思想，初步理解集合思想的基本内涵。
教学难点：借助学生熟悉的题材，渗透集合的有关思想，并利用直观图的方式求出两个小组的总人数。
教学方法：集合和等量代换的理论都是比较系统、抽象的数学思想方法，在这里，只是让学生通过生活中容易理解的题材初步体会这两种思想方法，为后继学习打下必要的基础，学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了。教学时，教师不要使用集合、集合的元素、基数、交集、并集、等量代换等数学化的语言进行描述，而应设置情境、安排游戏活动，营造平等、自由的学习氛围并鼓励学生自主创新。
一、情景引入，感受新知
1.播放课件：理发师的困惑
某理发师正在给客人理发，就听门一声响,“叔叔,我和爸爸要剃头”。门又一声响,“师傅,给我和我父亲剃个头”。这时,理发师抬起头一看，他很纳闷……
师：你们猜猜，理发师为什么纳闷啊?
期待生成：学生纷纷猜测，可能回答“我认为是他该给几个人理发”或是“该用什么顺序给他们理发”。
开始学生会觉得是四个，继续猜想，发现也有可能是三个人。
【设计意图：设计悬念，理解感受、鼓励猜想，引发多元思维。】
2.提出疑惑
师：真有同学猜对了！可为什么是三个人？（教师此时应故作茫然状）
期待生成：鼓励学生积极表述。
一般在几次回答之后就会有学生提到“爷爷”“爸爸”“儿子”的关系。
【设计意图:两对父子，却只有三个人，以此制造认知冲突，激活学生思维。】
3.师生互动：教师挑战
教师激疑：故事里只提到父子，没有“爷爷”呀？
期待生成：有一个人既是儿子的爸爸，又是爷爷的儿子。
教师板书：既……又……
【设计意图:让学生初步感受重复。同时，对“既……又……”的强调实现了学科间的整合，为学生思考重复提供了语言“拐杖”。】
4．共同揭示：手指演示
师：看来，问题出在谁身上？
期待生成:一个人代表了两个身份。
教师板书：两个身份。
【设计意图：利用生活模型，初步揭示重复元素的特点，为后续深入的认识埋下伏笔。】
二、活动体验，揭示新知
1.游戏体验
（1）“抢椅子”游戏
师：找两个同学，两把椅子进行抢椅子游戏。
期待生成：学生马上表示无法游戏。教师趁机提出：应该如何安排人数与椅子数？
教师提供选择：你们是选减少椅子呀还是增加人？
生成1：增加人。（其实，这是必然的，要是再减少椅子，两个人抢一把椅子，一轮就分出胜负，游戏就结束了。教师根据学生“增加人”的要求，顺势而为，有意识地叫上四名学生）
生成2：增加椅子。（其实这和增加人是一样的，增加了椅子后，必须相应地增加人才能玩“抢椅子”的游戏。教师根据学生最高的呼声，进一步组织教学）
【设计意图：安排游戏，激发所有学生参与学习的兴趣。同时，让学生再次体验新知，渗透一一对应的思想。】
（2）“猜拳”游戏
师：对不起，人数太多了，但椅子不能再增加了，怎么办？（根据生成1组织教学）
期待生成：学生们用“石头、剪子、布”的方法决定游戏选手，并确定为一个新的游戏活动——猜拳游戏。（前面教师叫上四名学生，而这又为猜拳游戏埋下伏笔，教学巧妙地过渡到下一个环节）
学生猜拳游戏后，淘汰三名学生，剩下一名参与“抢椅子”游戏。
【设计意图：自主决策，体现游戏公平，同时让教师组织的活动变成学生自己决定的活动，让学生乐于参与。】
三、深度体验，理解新知
第一层体验：
情景激励：对抢椅子游戏的获胜者采访并提出表扬。
期待生成：每一个参加游戏活动的同学都应受到表扬。
师：请参加游戏活动的7位同学起立，接受大家的掌声！（学生起立后，教师再次作茫然状）少一个人啊！谁没站起来？
【设计意图：教师的茫然，是挑起认知冲突，把学生推上前台。】
师生“对抗”：学生坚持“就6个人”，教师坚持“不，7个人！3个抢椅子，4个猜拳”。（此时，教师应给学生充分的时间，别忙着下结论，和学生多“对抗”几个回合，让每个学生都关注到结论的矛盾性）
教师为说明自己的观点，板书：3+4=7，引发学生争议。
期待生成：学生不断地表述，描述实际的情况，教师故意固执己见。
第二层体验：
情景探究：取出两个呼啦圈，并分别表示两个游戏活动，引导学生认同。
师：一个圈里有3个人，另一个圈里有4个人，一共6个人你们对了，7个人我就对了。
引发冲突：其中一个学生在两个圈中不断地跑动。
教师适时强调：一个圈里有3个人，另一个圈里有4个人才行，你们不能不守规则。
师退生进：教师退出活动现场，要求学生自己解决两个呼啦圈分别圈住玩两个游戏的学生的问题。
【设计意图：在这里，呼啦圈是集合图的生活模型。】
期待生成：由于6人不能满足一个圈里有3个人，另一个圈里有4个人的条件，从而将两个圈交叉在一起，玩了两个游戏的学生站在中间交叉的位置。期待学生们自发的掌声。（教师应注意等待，相信学生会成功，避免暗示与干扰）
教师现场计数，确认实际人数是6人。
【设计意图：教师的离开，将活动的主动权交给了学生。学生的潜能被激发，利用呼啦圈很好地解决了矛盾。这个过程看似在游戏，其实却是引导学生深入地认识重复。】
第三层体验：
教师根据呼啦圈中一共有6个人，顺势板书：3+4=6，再次引发学生质疑。
期待生成：3+4-1=6。
教师追问：为什么-1？这个1是谁？（学生会说是玩了两个游戏的学生）
现场演示：请中间的（玩了两个游戏的学生）走出呼啦圈，教师再次计数，怎么是5个人了？
期待生成：-1的1不是那个同学，而是他两个角色里的一个。
教师追问：如果这个同学参加三个游戏，应怎样？……
【设计意图：当学生以为自己已经成功地解决问题后，教师的板书又将学生的思维引向了深处。通过“3+4=6”的矛盾，引导学生深刻地体会到集合中公共元素所代表的意义，从而引向“1与2”的对应，甚至“1与多”的对应。】
阶段小结：这种现象是重复（板书：重复），它可以用语文的关联词“既……又……”来表示。
指导学生将呼啦圈“拓”在黑板上，并用双手做出交叉的形状，同时在屏幕上打出标准的集合（交集）图像。
【设计意图：由呼啦圈到集合图，让学生经历了数学知识由直观到抽象的形成过程。经历了这个过程，学生对集合图的认识才是丰富的、具体的，才是有经验作为支撑的。】
第四层体验：
情境活动：请玩“抢椅子”游戏的学生将自己的名字贴到数学圈里。
教师追问：将这个学生的名字放到这里，行吗？（教师整理姓名时故意将名字移动，引发学生质疑）
【设计意图：让学生感受到，名字只要在“数学圈”（集合图）里即可，而贴在圈里哪个地方不是本质。】
教师提问：请玩“猜拳”游戏的学生也将自己的名字贴到数学圈里。
可能的生成：1.两次都玩的学生将自己的名字分别贴在两个圈里。2.两次都玩的学生将自己的两个名字都贴在公共部分。3.两次都玩的学生只将自己的一个名字贴在公共部分。
因势利导：如果出现第1、2种情况，教师再次与学生一起计数，引发质疑（再次揭示-1的含义）。
思维挑战：如果这两个名字都必须贴到黑板上，怎么办？
期待生成：学生将两个名字重合贴到一起。
【设计意图：将形象的活动与感性的认识提升为抽象的数学问题和理性的数学思考，实现学生认识上的飞跃，并为后面的问题解决和深度的数学体验打下基础。】
四、问题解决，运用新知
花名册里的故事：
三年级一班有女生19人，男生17人，全班一共有学生多少人？
教师追问：为什么不-1？
引导学生正确区分哪种情况有重复，哪种情况没有重复。
【设计意图：在没有重复的反向思维中加深对重复的理解，防止学生出现思维固化，巩固理解，合理运用。】
五、回归情景，拓展新知
社会小调查：给爸爸找位置
一个数学圈代表抽烟的爸爸圈，一个数学圈代表喝酒的爸爸圈。（黑板显示两个交叉的圈）学生贴好名字，特别是引导学生确定既不喝酒又不抽烟的爸爸的位置。
板书：既不……，也不……
【设计意图：渗透全集概念。】
结束语：
师：今天学习的“重复”长大了叫“集合”，你们长大后可别不认识它呀！
【设计意图：知识的链接与拓展。】