教 材

义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级上册

设计理念

依据学生已有的基础及教材所处的地位和作用，遵循现代教学思想和学生的认知规律，通过教学达到：问题情境的设置唤醒学生探究交流的激情，让学生在计算、探索、交流的过程中感悟平方根的意义，了解平方根的性质，掌握算术平方根与平方根的区别与联系，同时让学生在学习知识技能的同时，注意数学思想方法和良好学习习惯的养成，使学生体验数学的“实践第一”和数学来源于实践，又服务于实践的思想。

学情分析

教学对象是八年级学生。从认知的角度来看，八年级的学生已经能从具体事例中归纳问题本质的能力，通过观察、类比等活动抽象出问题的规律。在学习本内容之前，已经经历了有理数、一元一次方程、一元一次不等式、不等式组及算术平方根等数与代数知识的学习，知道有理数刻画现实问题的局限性，回忆反馈了乘方有关概念及运算的基础，理解乘方运算的本质，对加减、乘除运算的互逆关系有了明晰的认识，在前面的学习过程中，积累了自主探究、合作学习的的经验，具有一定的观察、分析、归纳、概括能力具备了一定的合作与交流能力。这节课的教学，是在学生学习算术平方根的基础上，来分析探讨平方根的性质，本着从学生实际出发，以他们熟悉的问题情境引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性。

知识分析

《平方根》是人教版八年级上第十三章第一节内容，隶属于“数与代数”领域，重点结合实际问题情景认识算术平方根、平方根的意义，理解算术平方根、平方根的性质。本节共三课时，本课为第三课时，学生已经掌握了算术平方根概念和性质，会运用计算器求算术平方根的近似值，了解并并掌握了小数点的移动规律。本着从类比算术平方根的问题情境入手，引入平方根的概念，通过问题的展示，在自主探究合作交流的过程中，观察、分析、归纳、概括的基础上，会用符号表示正数的平方根，掌握平方根的性质，了解平方根与算术平方根的关系（平方根的运算转化为算术平方根来计算）。

学

习

目

标

知识与技能

1.了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根，

2.了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根

过程与方法

1．通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。

2．通过对正数平方根特点的探究，了解平方根与算术平方根的区别和联系，体验类比、化归等问题解决数学思想方法的运用，提高学生对问题的迁移能力。

情感态度与价值观

1.通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。

2.通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。

教学重点

掌握平方根的概念及性质，了解开方和乘方互为逆运算，会用这个互逆关系求某些正数的平方根和算术平方根，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系。

教学难点

平方根与算术平方根的区别和联系；负数没有平方根，即负数不能进行开平方的原因。

教学方法

“讨论比较教学”教学法：在教师的引导下，以学生为主体，主要通过学生相互讨论得出结论，同时对相似的概念进行比较，这样不仅能正确地区分这些概念，还使学生学得更加扎实。

学法指导

发现法、练习法、合作学习。

教学资源

借助PPT软件展示引例及变式训练题组，增大课堂容量，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。

教学评价

1、评价量规：随堂提问、练习反馈、作业反馈

2、评价策略：坚持“及时评价与激励评价相结合，定量化评价与定性化评价相统一”的原则，最大限度地做到面向全体学生，充分关注学生的个性差异，将学生自评、生生互评和教师概括引领、激励测进式点评有机结合，既有即兴评价，又有概要性评价；既有学生的自评，又有师生、生生之间的互评，力求在评价中帮助学生认识自我、建立自信，使其逐步养成独立思考、自主探索、合作交流的学习习惯。

教学流程

活动名称

主要内容及目的

活动一 知识回顾，复习巩固，重设问题情境，感受新知（4-6分）

通过回顾算术平方根的概念，计算某些正数的算术平方根，再现算术平方根的性质，为引入平方根的概念，探求平方根的性质作铺垫。

活动二 合作交流，解读探究（10-12分）

通过平方运算，抽象出数学问题，进而引出平方根定义，了解平方与开平方互为逆运算，会利用平方求某些数的平方根，培养学生用准确的语言解答数学问题的能力，达到使学生充分经历知识的形成与应用过程。

活动三 议一议，探究平方根性质（12-14分）

通过运用平方根的概念求某些特殊的平方根的过程，引导学生发现平方根的性质，由此归纳出平方根与算术平方根的区别和联系，提出用数学符号表示正数a的平方根，体现了从特殊到一般的数学思想的运用。最后通过计算，对平方根的概念及平方根和算术平方根的表示有一个清晰的认识。

活动四 应用迁移，理解新知（7-9分）

提供一组由浅入深的练习题巩固课本知识，进一步理解新知识的精髓。

活动五 全课小结，内化新知（5-7分）

通过学生自主小结和教师概括小结，将所学知识纳入学生已有的认知结构，使知识系统化、条理化。

活动六 布置作业，信息反馈（2-3分）

分层布置、分类要求、异步达标、全员合格

教 学 程 序

问题与情境

师生互动

媒体使用及设计意图

活动一、

1.算数平方根的概念及有关性质

2. 的算术平方根是

A 4 B ±16 C 16 D ±4

3. 的算术平方根是

A B

C D

4. 已知一个正方形的面积是9cm²，求它的边长。如果是一个正方形展厅的地面面积为50平方米，那它的边长呢？

1.如果一个正数x的平方等于a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。

a的算术平方根表示为:（a≥0）

0的算术平方根为0

负数没有算术平方根。

教师倾听学生的回答，并对回答进行评价。比如概念中强调了正数x的平方等于a，引导学生提出疑问：是不是有负数的平方也等于a？给学生留下探索的空间

学生回答

2.A

3.C

教师应关注学生解题的思维过程，及时处理学生对问题解决模糊的认识，真正掌握算术平方根的求法。

4.正方形边长等于3cm，正方形展厅边长m

师生互动：

多媒体演示问题情境（重现），教师引导学生把实际问题抽象成纯数学问题（隐去实际问题意义，那就是已知一个数的平方，求这个数。），感受新知。

复习回顾算术平方根的概念，一方面为引进平方根的概念起到借鉴作用，另一方面为弄清楚平方根与算术平方根的关系做铺垫。

正确理解算术平方根的被开方数意义

正确理解算术平方根的被开方数意义，也为我们后来探求做铺垫

从实际问题出发，通过类比、扩充抽象出新的数学问题，引出课题。

活动二

练习1：计算：

（1） （2） （3） （4） （5） （6）

练习2：填表

详见课本

3.已知一个数的平方，怎样求这个数

4.例4

你能求下列各数的平方根吗？

100 0.25

学生口答计算结果

（复习乘方运算）

引导学生反思计算结果，幂相等、幂指数为2时，底可能不一定相等。比如=

但4≠-4

学生填写表格（已知幂和和幂指数求底数）

教师应关注学生是否从表中数据领会了当底互底为相反数时幂相等这一数学事实。

学生阅读课本p73页，阐述自己的观点：

（1）如果一个________的______等于a，那么_________就叫做______的平方根或_______.即如果x²=a，那么x叫做a的______

并会用平方运算求某些正数的平方根，于是得到：

(2)求一个数的平方根的运算，叫做____

本次活动中教师应关注：

1.学生对平方根定义了解的程度；

2.学生是否真正了解了平方与开平方互为逆运算的关系，能否正确运用这一关系求某些（完全平方数）数的平方根

3.学生在活动中的参与意思及发表个人理性见解的勇气。

教师出示例题

学生独立思考，动手完成。

教师规范学生的语言叙述和书写：

因为（±10）²=100，所以100的平方根是±10。

本次活动教师应关注：

1.学生能否准确地用语言表达求平方根的过程；

2.学生能否通过自我评价了解自己对知识的掌握程度。

【媒体使用】

【设计意图】

引导学生发现练习1是平方运算，练习2是平方运算的逆运算，为引出平方根和开平方的概念提供感性材料，

给学生充足的时间和空间，理解和感知平方根概念，通过小组间的讨论、交流，释疑解难，提出共同的问题：已知幂和乘方的指数求底数的问题，是乘方的逆运算。引出平方根的定义，有利于学生对定义的理解和把握。使学生的自主性和合作性得到很好的发展，教学目标得到很好的落实。

我们在学生初步懂得利用平方求平方根的基础上，让学生用自己的语言有条理地、清晰地阐述自己求算术平方根的方法，提高语言的表达能力。

学生在了解平方根及平方运算与开平方运算互为逆运算的基础上，通过对例题的研究，进一步理解平方根的概念，突出本节课的重点。

将学生对知识的理解转化为数学技能，使学生获得成功的体验，激发学生的学习积极性，建立学好数学的自信心。

活动三

练习3 求：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

通过作答，归纳总结平方根的性质

平方根的表示方法与算术平方根

你能计算下列各式的值吗？

-

±

教师出示题目，学生独立思考，作出解答；然后由学生交流、讨论、比较、归纳得出平方根的性质。

教师引导学生发现：正数的平方根有两个，他们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根；0的平方根是0；负数没有平方根。

本次活动教师应关注：

学生能从具体事例中抽象出事物本来的特征，体会从特殊到一般的数学思想的应用，并能用精炼准确的语言表达数学事实。

教师让学生回忆正数a的算术平方根的表示方法的同时，指导他们结合平方根的性质，正数a的平方根有两个，他们互为相反数，其中正的平方根就是正数a的算术平方根，让学生归纳得出正数a的平方根可以用符号±来表示，并且懂得a的非负性理由。

学生探求、±的区别与联系

教师出例题

学生独立思考，动手完成解答

教师对学生的书写格式予以指导，用规范的语言和数学符号书写解题步骤：

因为，所以±=

本次活动中，教师要关注：

1.学生是否规范解题步骤，对平方根的概念及算术平方根和平方根的表示理解是否到位；

学生能否通过自我评价了解自己对知识掌握的程度。

平方根性质通过具体例子的解答，由学生交流、讨论、比较、归纳得出，经历了从具体到抽象，从特殊到一般的过程。由于分正数、0、负数三种情况总结，也潜移默化地渗透了分类讨论的数学思想，培养学生思维的严谨性。

在学生了解正数a的算术平方根的表示基础上，借助平方根的性质，用数学符号表示正数a的平方根，并理解中a的非负性，讨论、±的区别与联系，体会数学符号在数学问题解决方面的优越性，进一步发展学生数学符号感。

【媒体使用】

出示例5，展示学生解题步骤

【设计意图】

进一步理解平方根的表示，加深对平方根概念的理解，培养学生用规范语言和数学符号解决问题

活动四

1.精心选一选

（1）以下叙述中错误的是（ ）

A、4的算术平方根是2 B、是的一个平方根

C、1.1是的算术平方根

D、0.9的平方根是

2.认真填一填

1）若一个数有两个平方根，则这个数是＿＿＿＿＿

2）324的平方根是＿，7是＿＿的一个平方根（3）若一个正数的平方根是和，则=＿＿＿，这个正数为＿＿＿

（4）

，则＿＿＿

3.仔细想一想

已知的平方根是，的平方根是，求的平方根。

（1）多媒体演示出示问题1，学生合作交流，回答问题答案，根据学生回答，适时评价学生的表现，用PPT展示确认。

（2）出示问题2，结合学生口答，出示答案。教师关注学生回答问题思维方式（解答问题的知识点），切忌只关注答案的正确与否。

（3）出示问题3，学生上台演示，其他同学在台下做。

教师巡视，发现问题，及时校正。

本次活动中，教师应关注学生的活动过程，不能只注重结果，了解学生对所学知识点掌握的情况，对症下药，完善学生的知识结构。

【媒体使用】

出示精选题组，展示学生答案过程。

【设计意图】

多媒体的使用 有利于节时增效，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。

这个环节是巩固本课知识点，通过设置一组由浅入深的练习，来检测学生的掌握情况，在这部分的设计中，主要是发挥学生作为教学主体的主动性，让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦。

活动五

本节课你学习了哪些知识？在探索知识的过程中，你用了哪些方法？对你今后的学习有什么帮助？

教师出示小结提纲，强调小结提纲只做参考，学生按照自己学习的情况介绍学了哪些知识，有什么收获即可，不拘泥于形式，只求务真务实。

引导学生自主小结的基础上，进行概括小结，教师应关注学生的表现，包括知识掌握情况、情绪状况等。

学生按要求，进行自主小结，注意倾听同伴意见，反思梳整存在问题。

【媒体使用

出示学生自主小结内容，在此基础上进行概括小结，内化新知。

【设计意图】

使所学知识条理化、系统化；让学生在交流中共享，在反思中提升。

活动六

1.必做题：

教科书习题13.1第3、4、8、10题

2.选做题:

教科书习题13.1第10、11题

学生按照要求自主完成作业。

教师批改、总结。

本次活动中，教师应关注：

1.不同层次的学生对知识的理解程度，有针对性地讲；

2.学生在练习中出现的问题要及时反馈，

【设计意图】

为使学生的主体作用得以有效发挥，尊重学生的个体差异，为不同学生的发展创造条件，作业分层推荐、分类要求。