一元二次方程问题是初中代数之重点,也是中考之热点。许多同学在解题时,由于对题目中的隐含条件重视不够,在平时作业或考试当中往往出现错解。现将常见的错误情况公布于众,以期引起广大师生的共同注意。
错误之一:忽视二次项系数不能为0
例1、已知关于
误解:∵关于
即
∴当
分析:既然
有两个不相等的实数根。而又因为
例2、关于
误解:∵方程有两个实数根,∴Δ≥0,
即
分析:
所以,正确的答案应为
错误之二:忽视负的平方根和算术平方根的非负性
例3、解方程:
误解:
∴
∴
∴
分析:此解错就错在由
正确的解为:
∴
∴
∴
∴原方程的解为:
例4、已知
误解:把
⑴当
⑵当
分析:此解主要错在未考虑到
正解应为:所求的一元二次方程为
错误之三:忽视结论的多解情况
例5、若关于x的方程
误解:将原方程化简,得
∴当
分析:将原方程化简,得:
①当
②当
的判别式为:
∴方程
总有两个不同的实数根,按题设原方程只有一个解,因此必有一根是原方程的增根,从原方程知道,增根只可能是使
显然,0不是
将
因为一根是
∴当
例6、已知
误解:由题意可知
∵
∴方程
根据韦达定理得:
∴
分析:既然
这种情况,而上述解答看似很合理,却忽视了
这种情况。这其实是一个“陷阱”,应必须考虑到
在
∴本题正确的解应为
那么弄丢这种存在情况的原因在哪里呢?
主要是在于把
这种情况的存在了,因为
错误之四:忽视二次方程的△的取值
例7、已知关于
误解:设方程的两个实数根为
由韦达定理得:
∴
解得:
分析:设方程的两个实数根为
再由两个实数根的平方和为17,得
解得:
这样解看似合理的,但最关键的一点是忽视了
的判别式△的取值情况。
当
化简
当
例8、已知
误解:根据题意由韦达定理得:
∵
∴
解之得:
分析:解题时只注意到方程两根的等量关系,而忽视了方程有两个实根时Δ≥0这一先决条件,而当
∴正解应为
错误之五:忽视对题目中关键词的辨析
例9、
误解:要使方程有实数根,只需
解之得:
分析:解法中对方程“有实根”和“有两个实根”未加以辨析,而当
所以此题错在误认为原方程一定是一元二次方程,而没想到也可以是一元一次方程。
∴正解为
例10、
∴
∴当
分析:解法中没有注意到有实根的意义和本质是什么,因而忽视了方程有两实根时
∵当
∵原方程有两实根解,
∴
∴当
错误之六:忽视对根的符号的考察
例11、已知
误解:设
由韦达定理得:
分析:∵
∴
例12、设方程
误解:设原方程两根为
又由题意知
即
而当
分析:解法中考虑△>0是非常必要的,但是却忽视了
而当
应当舍去,正解为