数学 量的测定

在科学实验中，为了测定一个量x，常作n次观测，测得n个数据a1、a2、……an，并取它们的算术平均值，即取

。

例如，要测定一批稻谷千粒重，当然不能把所有的稻谷都拿来秤。我们先从中取出千粒稻谷，秤得其重量为a1，再取另外的千粒稻谷，称得其重量为a2；如此继续称下去，如果一直称到第5次，千粒重为a5，那么，这批稻谷的千粒重就可以用下面的平均数来估计：

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为什么要取n个测定值的平均数作为测定的值呢？这是因为， x这个数值是n次观测所得数据a1、a2、……an的代表，它体现了所要观测的n个量的整体性，与这n个数据距离的和最小。

但是，x－Qi（i=1，2，3，……n）有正有负，如果将它们相加作为测量得到的偏差，是不合理的，因为正偏差与负偏差的和相互抵消了。用这样偏差来衡量测量的准确性是不科学的。那么，用什么数来表示才好呢？如果将上面各偏差平方后再相加，这样，其中各项就不可能为负数了。

因此，令

y＝（x－a1）2＋（x－a2）2＋（x－a3）2＋……＋（x-an）2。

现在的任务就是要求n为何值时，y值极小值，即使偏差最小，从而使测量效果最佳。

y＝（x－a1）2＋（x－a2）2＋（x－a3）2＋……＋（x-an）2

=nx2－2（a1＋a2＋a3＋……＋an）x＋（a12+a22＋a32＋……＋an2）。

这是一个关于x的二次函数。由二次函数最小值的求法。

∵ n＞0，

时，y取最小值。

因此在科学实验中，取n次观测的数据的算术平均值作为观测的重量是正确的。

你知道自己头上有多少根头发吗？据说，人的头发有数十万根之多，当然不可能一根一根地去数。头发的排列也并非整整齐齐，不能数多少行，多少排，然后用乘法算。

一种切实可行的办法，是测量一下头发面积有多大，再数一数一个平方厘米头皮上有多少根头发，然后用单位面积上头发的根数去乘面积，就得头发的总根数了。

当然，头发密度不一定相同，有的地方长得密一些，有的地方稀一些。在选取“样本”时，要找有代表性的地方。

计算头发根数的实际意义不大，但这种方法却很有用处。一片大原始森林，共有多少棵树？要回答这个问题，就可以用类似的办法来解决。但是，森林中的树木也有疏有密，怎样选取“样本”呢？最好的办法是任意选若干块地方，分别计算，然后求出平均数来。