2.3.1 等比数列第二课时 优化训练
1．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a等于()
A．4 B．2
C．－2 D．－4
解析：选D.由互不相等的实数a，b，c成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由a＋3b＋c＝10可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又c，a，b成等比数列可得d＝6，所以a＝－4.
2．等比数列前3项的积为2，最后三项的积为4，所有项的积为64，则该数列有()
A．13项 B．12项
C．11项 D．10项
解析：选B.设该数列为{an}，由题意得
a1a2a3＝2，anan－1an－2＝4，
(a1an)3＝8，
a1an＝2，
(a1a2…an)2＝642＝(a1an)n＝2n，
n＝12.
3．在等比数列{an}中，a5、a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，则a7等于()
A．－1 B．1
C．1 D．以上都不正确
解析：选B.设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由an＝a1qn－1，知数列{an}奇数项和偶数项的符号分别相同．这样由a5＋a9＝187＞0，a5a9＝1，得a7＝1，选B.
4．已知{an}是等比数列，
(1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝________；
(2)若an＞0，a1a100＝100，则lga1＋lga2＋…＋lga100＝________.
解析：(1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，
a23＋2a3a5＋a25＝25，(a3＋a5)2＝25，
又an＞0，a3＋a5＝5.
(2)∵a1a100＝a2a99＝…＝a50a51＝100，
lga1＋lga2＋…＋lga100＝lg(a1a2…a99a100)
＝lg(a1a100)50＝50 lg100＝100.
答案：5 100
5．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8000.求此四个数．
解：设前三个数分别为a－d，a，a＋d，则有
(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16.
再设后三个数分别为bq，b，bq，
则有bqbbq＝b3＝8000，
即b＝20.
四个数分别为m,16,20，n.
m＝216－20＝12，n＝20216＝25，
即四个数分别为12,16,20,25.
1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a25，a2＝1，则a1＝()
A.12 B.22
C.2 D．2
解析：选B.设公比为q.
由a3a9＝2a25得a26＝2a25.
|a6|＝2|a5|，|a6a5|＝2，即|q|＝2，
又∵q＞0，q＝2，
a1＝a2q＝22.
2.设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，对应的函数图象如图，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1，则()
A．an＋1＝bn＋1
B．an＋1bn＋1
C．an＋1bn＋1
D．an＋1bn＋1
解析：选B.由题图可得，选B.
3．已知a，b，c成等比数列，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有()
A．0个 B．1个
C．2个 D．0个或1个
解析：选A.由题意知b2＝ac.
∵＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2＜0，
图象与x轴无交点．
4．设xR，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}＝x－[x]，则{5＋12}，[5＋12]，5＋12()
A．是等差数列但不是等比数列
B．是等比数列但不是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
解析：选B.∵[5＋12]＝1，{5＋12}＝5＋12－1＝5－12，
{5＋12}5＋12＝([5＋12])2＝1，又∵5＋12＋{5＋12}＝52，是等比数列但不是等差数列．
5．若两个数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两个数为两根的一元二次方程是()
A．x2－6x＋5＝0 B．x2＋12x＋25＝0
C．x2＋6x－25＝0 D．x2－12x＋25＝0
解析：选D.设这两个数为x1，x2，由题意知
x1＋x2＝12，x1x2＝25，
以这两个数为两根的方程为x2－12x＋25＝0.
6．已知a、b、c、d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点为(b，c)，则ad等于()
A．3 B．2
C．1 D．－2
解析：选B.曲线y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，所以顶点为(1,2)，即bc＝12＝2＝ad.
7．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．
解析：设插入的三个数为aq，a，aq，据题意，五个数成等比数列，
所以aqaq＝83272＝36.
所以a＝6(舍去a＝－6)．
插入的三个数的乘积为a3＝216.
故答案为216.
答案：216
8．在等比数列{an}中，若a4a6a8a10a12＝243，则a210a12的值为________．
解析：由a4a6a8a10a12＝243得a58＝243，
a8＝3.
从而a210a12＝a12a8a12＝a8＝3.
答案：3
9．定义一种运算“*”，对于nN＋满足以下运算性质：①1*1=1，②（n+1）*1=3(n*1),则n*1用含n的代数式表示为_________________.
解析：(n＋1)*1＝3(n*1)＝33[(n－1)*1]
＝…＝3n(1*1)=3n,故n*1=3n-1
答案：3n－1
10．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，nN＋，其中k是常数．
(1)求a1及an；
(2)若对于任意的mN＋，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．
解：(1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1，
an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n2)．
a1＝k＋1也满足上式，所以an＝2kn－k＋1，nN＋.
(2)由am，a2m，a4m成等比数列，得
(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，
将上式化简，得2km(k－1)＝0.
因为mN＋，所以m0，故k＝0或k＝1.
11．(2011年荆州高二检测)已知等比数列{an}中，a2＝32，a8＝12，an＋1＜an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求Tn的最大值及相应的n值．
解：(1)由q6＝a8a2＝1232＝164，
an＋1＜an，得q＝12.
a1＝a2q＝3212＝64，所以通项公式为：
an＝64(12)n－1＝27－n(nN＋)．
(2)设bn＝log2an，
则bn＝log227－n＝7－n，
所以，{bn}是首项为6，公差为－1的等差数列．
Tn＝6n＋nn－12(－1)
＝－12n2＋132n
＝－12(n－132)2＋1698.
因为n是自然数，所以，n＝6或n＝7时，Tn最大，其最大值是T6＝T7＝21.
12．设数列{an}和{bn}满足a1＝b1＝6，a2＝b2＝4，a3＝b3＝3，且数列{an＋1－an}(nN＋)是等差数列，数列{bn－2}(nN＋)是等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)是否存在kN＋，使ak－bk(0，12)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵数列{an＋1－an}是等差数列，
an＋1－an＝(a2－a1)＋(n－1)d，
a2－a1＝－2，a3－a2＝－1，d＝1，
an＋1－an＝－2＋(n－1)＝n－3，
a2－a1＝1－3，
a3－a2＝2－3，
…
an－an－1＝n－1－3，相加得
an－a1＝[1＋2＋3＋…＋(n－1)]－3(n－1)
an＝12(n2－7n＋18)(nN＋)．
∵{bn－2}是等比数列，
bn－2＝(b1－2)qn－1，
b1－2＝4，b2－2＝2，q＝12，
bn－2＝412n－1.
bn＝412n－1＋2.
(2)不存在，a1－b1＝0，a2－b2＝0，a3－b3＝0，
n4时，an＝12(n2－7n＋18)是递增数列，an3.
n4时，bn＝412n－1＋2是递减数列，
bn212，
an－bn12，
即ak－bk0，12.