第一章 三角函数
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝3sin(x2－4)，xR的最小正周期为()
A.2 B．
C．2 D．4
【解析】 T＝2＝212＝4
【答案】 D
2．化简sin(9－)＋cos(－92－)＝()
A．2sin B．2cos
C．sin ＋cos D．0
【解析】 sin(9－)＋cos(－92－)＝sin(－)＋cos(2＋)＝sin －sin ＝0.
【答案】 D
3．函数f(x)＝tan x(＞0)图像的相邻的两支截直线y＝4所得线段长为4，则f(4)的值是()
A．0 B．1
C．－1 D.4
【解析】 由题意知截得线段长为一周期，T＝4，
＝4＝4，
f(4)＝tan (44)＝0.
【答案】 A
4．已知角的终边上一点的坐标为(sin 23，cos 23)，则角的最小正值为
()
A.5 B.23
C.5 D.116
【解析】 ∵sin 20，cos 20，
点(sin 23，cos 23)在第四象限．
又∵tan ＝cos 23sin 23＝－33，
的最小正值为2－16＝116.
【答案】 D
5．要得到函数y＝sin(4x－3)的图像，只需把函数y＝sin 4x的图像()
A．向左平移3个单位长度
B．向右平移3个单位长度
C．向左平移12个单位长度
D．向右平移12个单位长度
【解析】 由于y＝sin(4x－3)＝sin[4(x－12)]，所以只需把y＝sin 4x的图像向右平移12个单位长度，故选D.
【答案】 D
6．设函数f(x)＝sin(2x＋3)，则下列结论正确的是()
A．f(x)的图像关于直线x＝3对称
B．f(x)的图像关于点(4，0)对称
C．把f(x)的图像向左平移12个单位长度，得到一个偶函数的图像
D．f(x)的最小正周期为，且在[0，6]上为增函数
【解析】 f(3)＝sin(23＋3)＝sin ＝0，故A错；
f(4)＝sin(24＋3)＝sin(3)＝cos 3＝120，故B错；把f(x)的图像向左平移12个单位长度，得到y＝cos 2x的图像，故C正确．
【答案】 C
7．(2012福建高考)函数f(x)＝sin(x－4)的图像的一条对称轴是()
A．x＝4 B．x＝2
C．x＝－4 D．x＝－2
【解析】 法一 ∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点，
故令x－4＝k2，kZ，x＝k4，kZ.
取k＝－1，则x＝－4.
法二 x＝4时，y＝sin(4)＝0，不合题意，排除A；x＝2时，y＝sin(4)＝22，不合题意，排除B；x＝－4时，y＝sin(－4)＝－1，符合题意，C项正确；而x＝－2时，y＝sin(－4)＝－22，不合题意，故D项也不正确．
【答案】 C
8．(2013西安高一检测)下列函数中，以为周期且在区间(0，2)上为增函数的函数是()
A．y＝sinx2 B．y＝sin x
C．y＝－tan x D．y＝－cos 2x
【解析】 C、D中周期为，A、B不满足T＝.
又y＝－tan x在(0，2)为减函数，C错．
y＝－cos 2x在(0，2)为增函数．
y＝－cos 2x满足条件．
【答案】 D
9．已知函数y＝sin x3在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为()
A．6 B．7
C．8 D．9
【解析】 T＝6，则5T4t，如图：
t152，tmin＝8.
故选C.
【答案】 C
10．(2012天津高考)将函数f(x)＝sin x(其中0)的图像向右平移4个单位长度，所得图像经过点(34，0)，则的最小值是()
A.13 B．1
C.53 D．2
【解析】 根据题意平移后函数的解析式为y＝sin (x－4)，将(34，0)代入得sin 2＝0，则＝2k，kZ，且0，故的最小值为2.
【答案】 D
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)
11．已知圆的半径是6 cm，则15的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是________cm2.
【解析】 1512，扇形的面积为S＝12r2＝126212＝32.
【答案】 32
12．sin(－120)cos 1 290＋cos(－1 020)sin(－1 050)＝________.
【解析】 原式＝－sin(180－60cos(3360＋210)＋cos(－1 080＋60sin(－3360＋30)
＝－sin 60cos(180＋30)＋cos 60sin 30
＝－32(－32)＋1212＝1.
【答案】 1
13．(2013江苏高考)函数y＝3sin(2x＋4)的最小正周期为________．
【解析】 函数y＝3sin(2x＋4)的最小正周期T＝2.
【答案】
图1
14．已知函数f(x)＝sin(x＋)(0)的图像如图所示，则＝________.
【解析】 由图像可知，
T＝4(23)＝43，
＝2T＝32.
【答案】 32
15．关于x的函数f(x)＝sin(x＋)有以下命题：
①对于任意的，f(x)都是非奇非偶函数；②不存在，使f(x)既是奇函数又是偶函数；③存在，使f(x)是奇函数；④对任意的，f(x)都不是偶函数．
其中假命题的序号是________．
【解析】 当＝2k，kZ时，f(x)＝sin x是奇函数；
当＝(2k＋1)，kZ时，f(x)＝－sin x仍是奇函数；
当＝2k2，kZ时，f(x)＝cos x或＝2k2，kZ时，f(x)＝－cos x都是偶函数．
所以①和④是错误的，③是正确的．
又因为无论取何值都不能使f(x)恒为零，故②正确．所以填①④.
【答案】 ①④
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知角x的终边过点P(1，3)．
(1)求：sin(－x)－sin(2＋x)的值；
(2)写出角x的集合S.
【解】 ∵x的终边过点P(1，3)，
r＝|OP|＝12＋32＝2.
sin x＝32，cos x＝12.
(1)原式＝sin x－cos x＝3－12.
(2)由sin x＝32，cos x＝12.
若x[0,2]，则x＝3，
由终边相同角定义，S＝{x|x＝2k3，kZ}.
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(x＋)＋2(A＞0，＞0)图像上的一个最高点的坐标为(8，22)，则此点到相邻最低点间的曲线与直线y＝2交于点(38，2)，若(－2)．
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)求函数的对称中心．
【解】 (1)由题意得A＝22－2＝2.
由T4＝38＝4，
周期为T＝.
＝2T＝2＝2，
此时解析式为y＝2sin(2x＋)＋2.
以点(8，22)为“五点法”作图的第二关键点，则有
28＋2，
4，
y＝2sin(2x＋4)＋2.
(2)由2x＋4＝kZ)得x＝k8(kZ)．
函数的对称中心为(k8，2)(kZ)．
18．(本小题满分12分)(2012陕西高考)函数f(x)＝Asin(x－6)＋1(A0，0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设(0，2)，f(2)＝2，求的值．
【解】 (1)∵函数f(x)的最大值为3，A＋1＝3，即A＝2.
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2，
最小正周期T＝，＝2，
函数f(x)的解析式为y＝2sin(2x－6)＋1.
(2)∵f(2)＝2sin(－6)＋1＝2，
sin(－6)＝12.
∵02，－－3，
－6，＝3.
19．(本小题满分13分)已知y＝a－bcos 3x(b0)的最大值为32，最小值为－12.
(1)求函数y＝－4asin(3bx)的周期、最值，并求取得最值时的x的值；
(2)判断(1)问中函数的奇偶性．
【解】 (1)∵y＝a－bcos 3x，b0，
ymax＝a＋b＝32，ymin＝a－b＝－12，解得a＝12，b＝1.
函数y＝－4asin(3bx)＝－2sin 3x，
此函数的周期T＝23.
当x＝2k6(kZ)时，函数取得最小值－2；
当x＝2k6(kZ)时，函数取得最大值2.
(2)∵函数解析式为y＝－2sin 3x，xR，
－2sin(－3x)＝2sin 3x，即f(－x)＝－f(x)，
f(x)为奇函数．
20．(本小题满分13分)函数f1(x)＝Asin(x＋0，0，|2)的一段图像过点(0,1)，如图所示．
图2
(1)求函数f1(x)的表达式；
(2)将函数y＝f1(x)的图像向右平移4个单位，得函数y＝f2(x)的图像，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合，并写出该函数的增区间．
【解】 (1)由题意知T＝，＝2.
将y＝Asin 2x的图像向左平移12，得y＝Asin(2x＋)的图像，于是＝212＝6.
将(0,1)代入y＝Asin(2x＋6)，得A＝2.
故f1(x)＝2sin(2x＋6)．
(2)依题意，f2(x)＝2sin[2(x－4)＋6]
＝－2cos(2x＋6)，xKb 1. Com
y＝f2(x)的最大值为2.
当2x＋6＝2k(kZ)，
即x＝k12(kZ)时，ymax＝2，
x的集合为{x|x＝k12，kZ}．
∵y＝cos x的减区间为x[2k，2k]，kZ，
f2(x)＝－2cos (2x＋6)的增区间为{x|2k2x＋2k，kZ}，解得{x|k12k12，kZ}，
f2(x)＝－2cos(2x＋6)的增区间为x－12，k12]，kZ.
图3
21．(本小题满分13分)已知定义在区间[－3]上的函数y＝f(x)的图像关于直线x＝－6对称，当x[－6，23]时，函数f(x)＝Asin(x＋0，0，－2)，其图像如图所示．
(1)求函数y＝f(x)在[－3]上的表达式；
(2)求方程f(x)＝22的解．
【解】 (1)由图像可知，A＝1，T4＝26＝2，
T＝2.
＝2T＝2＝1.
∵f(x)＝sin(x＋)过点(23，0)，
23＋.
3.
f(x)＝sin(x＋3)，x[－6，23]．
∵当－x6时，－－x－23，
又∵函数y＝f(x)在区间[－3]上的图像关于直线x＝－6对称，
f(x)＝f(－x－3)＝sin[(－x－3)＋3]＝sin(－x)＝－sin x，x[－，－6]．
f(x)＝sinx＋3，x[－6，23]，－sin x，x[－，－6.
(2)当－x3时，x＋.
由f(x)＝sin(x＋3)＝22，得x＋4或x＋3＝34，
x＝－12或x＝512.
当－x6时，由f(x)＝－sin x＝22，即sin x＝－22得x＝－4或x＝－34.
方程f(x)＝22的解为x＝－12或512或－4或－3