高二数学直线与平面平行的判定和性质人教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
直线与平面平行的判定和性质
二. 教学重、难点：
1. 直线与平面的位置关系
（1）直线在平面内
2. 直线和平面平行的判定
， ，
3. 直线和平面平行的性质
4. 将线面问题转化为线线问题
“过线作面找交线”
【典型例题】
[例1] 如图，已知P是 ABCD所在平面外一点，M为PB的中点，求证：PD//平面MAC
证：连结AC、BD相交于点O，连结MO
∵ O为BD的中点，又M为PB的中点 MO//PD
又 ∵ MO 面MAC，PD 面MAC PD//面MAC
[例2] 正方体 中，棱长为 ，画出过A、C、B1的平面与下底面的交线 。
解：在面 内，过点 作直线
由正方体性质 面
为面 与面 的交线
[例3] 求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行。
已知： ， ，求证：
证：过 作面 交面 于 ∵
同理，过 作 ∵
又 ∵ 又面 过 交 于
∵
[例4] 如图，A、B分别是异面直线 上的两点，AB的中点O作面 与 、 都平行，M、N分别是 上的另外的两点，MN与 交于点P。求证：P是MN的中点。
证：连结AN交 于Q，连结OQ、PQ
∵ ，OQ是过 的面ABN与 的交线 OQ
同理PQ// 在 中，O是AB的中点，OQ//BN
Q是AN的中点 又 ∵ PQ//AM P是MN的中点
[例5] 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于一点或两两平行。
已知：
求证： 交于一点或
证：∵
的位置关系只有相交或平行两种情况
（1） 与 相交时，设 ，则
∵
P为 和 的公共点 又 ∵
相交于同一点P
（2） 时，∵
故 两两平行
[例6] 如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB， ，且AM=FN，求证：MN//面BCE。
证：作MGBC于G，NQBE于Q，连结GQ，则MG//AB，NQ//AB
MG//NQ
而
MG=NQ 四边形MGQN为平行四边形
MN//GQ ∵ MN 面BCE，GQ 面BCE MN//面BCE
[例7] 正方体 的棱长为1，过 且平行于对角线 的截面的面积等于多少？
解：连结 交于O 取 中点E，连结OE、 ，
∵ E、O分别为 的中点
∵ 面 ， 面 B1D//面
∵
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
1. 长方体 中，如下图，点 ，
求证：MN//平面ABCD。
2. 如下图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，求证：AQ//平面CEP。
3. 已知P是 所在平面外一点， ，试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据。
4. 已知一条直线与一个平面平行，求证：经过这个平面的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内。
【试题答案】
1. 证明：连结AC，A1C1，因为 是长方体，所以
又因为 平面 ， 平面
所以AC//平面 ，又因为AC 平面 ，且平面 平面
所以 ，因为 平面ABCD， 平面ABCD，所以MN//平面ABCD
2. 证明：在矩形ABCD中，因为AP=PB，DQ=QC，所以 ，所以四边形AQCP为平行四边形，所以 ，因为CP 平面CEP，AQ 平面CEP，所以AQ//平面CEP
3. 证明：在面PBC内作MN//BC，交PC于N，连结AN，则BC//面AMN
面AMN为所作平面 依据：直线与平面平行的判定
4. 证：（反证法）假设 ∵ 和 相交
∵ A和 确定一个平面
即 在 内，过A作 使
∵ ∵
与 矛盾 不成立