高二数学数系的扩充与复数的引入苏教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容:
数系的扩充与复数的引入
二. 本周教学目标:
1. 回顾数系的扩充过程,体会数的概念是逐步发展的,了解引入复数的必要性。
2. 理解复数的概念及复数的代数表示,掌握复数相等的充要条件。
3. 掌握复数代数形式的代数表示,能进行复数代数形式的四则运算。
4. 理解复数的几何意义,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
[知识要点]
一. 复数的定义
1. 复数的定义:形如 的数叫复数, 叫复数的实部, 叫复数的虚部 全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示。
说明
(1)虚数单位 :(1)它的平方等于-1,即 ;(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立。
(2) 与-1的关系: 就是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一个根,方程x2=-1的另一个根是- 。
(3) 的周期性: 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1。
(4)复数的代数形式: 复数通常用字母z表示,即 ,把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式。
(5)复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:对于复数 ,当且仅当b=0时,复数a+bi(a、bR)是实数a;当b0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0。
(6)复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C。
(7)两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等。即:如果a,b,c,dR,那么a+bi=c+di a=c,b=d。
一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。如果两个复数都是实数,就可以比较大小。只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小。
二. 复数的四则运算
1. 复数z1与z2的加法法则:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1。
复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。
2. 复数z1与z2的减法法则:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
3. 乘法运算规则:
规定复数的乘法按照以下的法则进行:
设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。
乘法运算律:
(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3
(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
4. 复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,yR)叫复数a+bi除以复数c+di的商,记为:(a+bi) (c+di)或者
三. 复数的几何意义
复平面、实轴、虚轴:
点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、bR)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为(0,0), 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数。故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即
复数 复平面内的点
这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义。也是复数的另一种表示方法,即几何表示方法。
【典型例题】
例1. 实数m取什么数值时,复数z=m+1+(m-1)i是:
(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?
分析:因为mR,所以m+1,m-1都是实数,由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值。
解:(1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数;
(2)当m-10,即m1时,复数z是虚数;
(3)当m+1=0,且m-10时,即m=-1时,复数z 是纯虚数。
例2. 已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,yR,求x与y。
解:根据复数相等的定义,得方程组 ,所以x= ,y=4
例3. 计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
解:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4) i=-11 i。
例4. 计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2002+2003i)+(2003-2004i)
解法一:原式=(1-2+3-4+…-2002+2003)+(-2+3-4+5+…+2003-2004)i=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i。
解法二:∵(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,
(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,
……
(2001-2002i)+(-2002+2003)i=-1+i。
相加得(共有1001个式子):
原式=1001(-1+i)+(2003-2004i)
=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i
例5. 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)
解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i) (-2+i)= -20+15i。
例6. 计算
解:
。
例7. 计算
解:
例8. 已知z是虚数,且z+ 是实数,求证: 是纯虚数。
证明:设z=a+bi(a、bR且b0),于是
z+ =a+bi+ =a+bi+ 。
∵z+ R,b- =0。
∵b0,a2+b2=1。
∵b0,a、bR, 是纯虚数。
【模拟试题】
1. 设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论正确的是( )
A. AB=C B. A=B C. A B= D. B B=C
2. 复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足( )
A. x=- B. x=-2或- C. x-2 D. x1且x-2
3. 已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合P={-1,3}。MP={3},则实数m的值为( )
A. -1 B. -1或4 C. 6 D. 6或-1
4. 设z=3+i,则 等于
A. 3+i B. 3-i C. D.
5. 的值是
A. 0 B. i C. -i D. 1
6. 已知z1=2-i,z2=1+3i,则复数 的虚部为
A. 1 B. -1 C. i D. -i
7. 计算(- =____。
8. 计算:(2x+3yi)-(3x-2yi)+(y-2xi)-3xi=________(x、yR)。
9. 计算(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-…-(2002-2003i)。
【试题答案】
1. D 2. D
3. 解析:由题设知3M,m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3
, m=-1,故选A。
4. D 5. A 6. A
7. -2 i 8. (y-x)+5(y-x)i
9. 解:原式=(1-2+3-4+…+2001-2002)+(-2+3-4+…-2002+2003)i
=-1001+1001i