高二数学（理）利用导数求单调区间、极值人教实验版（A）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
利用导数求单调区间、极值
二. 重点、难点：
1. 在某区间（ ）内，若 0那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增，若 ，那么函数 在这个区间内单调递减。
2. ，在 ，则称 为 的极大值。
3. ， 在 ，则称 为 的极小值。
4. 极值是一个局部性质
5. 时， 是 为极值的既不充分也不必要条件。
【典型例题】
[例1] 求下列函数单调区间
（1）
解：
（2）
（3）
定义域为
（4）
解：
[例2] 求满足条件的 的取值范围。
（1） 为R上的增函数
解：
时， 也成立
（2） 为R上增函数 成立
成立
（3） 为R上增函数
[例3] 证明下面各不等式
（1）
证：① 令
在 任取
即：
② 令
在（0，+ ）上 任取
即
（2） 令
[例4] 求下列函数的极值。
（1）
解： x=1
[例5] 在x=1处取得极值10，求 。
解： 或 （舍）
[例6] 曲线 ，过P（1，1）在原点取得极小值。求此函数的极大值的最小值。
解：由已知
令
（－ ，－2）
－2 （－2，0）
－ 0 +
[例7] 已知 在区间[－1，1]上是增函数，求实数 的取值范围。
解： ∵ 在[－1，1]上是增函数
对 恒成立，即 对 恒成立
设 ，则 解得
[例8] 设 是R上的偶函数，（1）求 的值；（2）证明 在（0，+ ）上是增函数。
解：（1）依题意，对一切 ，有 ，即
即 ，所以对一切 恒成立
由于 不恒为0，所以 ，即 ，又因为 ，所以
（2）证明：由 ，得
当 时，有 ，此时 ，所以 在（0，+ ）内是增函数
[例9] 已知函数 的图象过点P（0，2），且在点M（－1， ）处的切线方程 ，（1）求函数 的解析式；（2）求函数 的单调区间。
解：（1）由 的图象经过P（0，2），知 ，所以 ，
由在点M（ ）处的切线方程为
即 解得
故所求的解析式是
（2） 令 ，解得
当 或 时，
当 时，
故 在 内是增函数，在 内是减函数
在 内是增函数
[例10] 已知函数 是R上的奇函数，当 时， 取得极值－2。（1）求 的单调区间和极大值。（2）证明对任意 ，不等式 恒成立。
解：（1）由奇函数定义，应有 ，
即
因此
由条件 为 的极值，必有 ，故 ，解得
因此，
当 时， ，故 在单调区间 上是增函数
当 时， ，故 在单调区间（－1，1）上是减函数
当 时， ，故 在单调区间（1， ）上是增函数
所以 在 处取得极大值，极大值为
（2）解：由（1）知， 是减函数，且 在[－1，1]上的最大值 在[－1，1]上的最小值
所以对任意 ，恒有
【模拟试题】
1. 两曲线 与 相切于点（1，－1）处，则 值分别为（ ）
A. 0，2 B. 1，－3 C. －1，1 D. －1，－1
2. 设函数 ，则 （ ）
A. 在（－ ，+ ）单调增加
B. 在（－ ，+ ）单调减少
C. 在（－1，1）单调减少，其余区间单调增加
D. 在（－1，1）单调增加，其余区间单调减少
3. 当 时，有不等式（ ）
A.
B.
C. 当 时， ，当 时，
D. 当 时， ，当 时，
4. 若连续函数在闭区间上有惟一的极大值和极小值，则（ ）
A. 极大值一定是最大值，极小值一定是最小值
B. 极大值必大于极小值
C. 极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值
D. 极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值
5. 设 在 可导，则 等于（ ）
A. B. C. D.
6. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 函数 有极值的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
8. 设 、 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当 时，
，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
9. 设函数 的图象如图所示，且与 在原点相切，若函数的极小值为－4，（1）求 的值；（2）求函数的递减区间。
10. 是否存在这样的k值，使函数 在（1，2）上递减，在（2，－ ）上递增。
11. 设函数
（1）若导数 ；并证明 有两个不同的极值点 ；
（2）若不等式 成立，求 的取值范围。
12. 已知过函数 的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。
（1）求 的值；
（2）求A的取值范围，使不等式 对于 恒成立。令 = ，是否存在一个实数 ，使得当 时， 有最大值1？
【试题答案】
1. D 2. C 3. B 4. D 5. D 6. D 7. C 8. D
9. 解析：（1）函数的图象经过（0，0）点
，又图象与x轴相切于（0，0）点，
，得 ，
当 时， ，当 时，
当 时，函数有极小值－4 ，得
（2） ，解得
递减区间是（0，2）
10. 解析： ，由题意，当 时，
当 时， 由函数 的连续性可知
即 得 或
验证：当 时，
若 ， ，若 ，符合题意
当 时，
显然不合题意，综上所述，存在 ，满足题意
11. 解：（1）
令 得方程
因 ，故方程有两个不同实根
不妨设 ，由 可判断 的符号如下：
当 时， ；当 时， ；当 时，
因此 是极大值点， 是极小值点
（2）因 ，故得不等式
即
又由（1）知 代入前面不等式，两边除以 ，并化简得
解不等式得 或 （舍去）
因此，当 时，不等式 0成立
12. 解：（1） ，依题意得
，把B（1，b）代入得
（2）令 得 或
∵
要使 对于 恒成立，则 的最大值
（1）已知
∵
① 当 时， ，即 在 上为增函数
的最大值 ，得 （不合题意，舍去）
② 当 ， ，令 ，得
列表如下：
（0， ）
+ 0 －
极大值
在 处取最大值
③ 当 时， 在 上为减函数
在 上为增函数
存在一个 ，使 在 上有最大值1。