选修2-3 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质
一、选择题
1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为()
A．2n－1 B．2n－1
C．2n＋1－1 D．2n
[答案] C
[解析] 解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋…＋2n
＝1(2n＋1－1)2－1＝2n＋1－1.
解法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D，选C.
2．(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是()
A．第4项 B．第4、5两项
C．第5项 D．第3、4两项
[答案] B
[解析] (x－y)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．
3．若x3＋1x2n展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于()
A．210 B．120
C．461 D．416
[答案] A
[解析] 由已知得，第6项应为中间项，则n＝10.
Tr＋1＝Cr10(x3)10－r1x2r＝Cr10x30－5r.
令30－5r＝0，得r＝6.T7＝C610＝210.
4．(2008安徽6)设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为()
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] A
[解析] ∵a0＝a8＝C08＝1，a1＝a7＝C18＝8，a2＝a6＝C28＝28，a3＝a5＝C38＝56，a4＝C48＝70，奇数的个数是2，故选A.
5．设n为自然数，则C0n2n－C1n2n－1＋…＋(－1)kCkn2n－k＋…＋(－1)nCnn＝()
A．2n B．0
C．－1 D．1
[答案] D
[解析] 原式＝(2－1)n＝1，故选D.
6．设A＝37＋C2735＋C4733＋C673，B＝C1736＋C3734＋C5732＋1，则A－B＝()
A．128 B．129
C．47 D．0
[答案] A
[解析] A－B＝37－C1736＋C2735－C3734＋…－1＝(3－1)7＝128.
7.x2＋2x8的展开式中x4项的系数是()
A．16 B．70
C．560 D．1120
[答案] D
[解析] 考查二项式定理的展开式．
设第r＋1项含有x4，则Tr＋1＝Cr8(x2)8－r(2x－1)r
＝Cr82rx16－3r，
16－3r＝4，即r＝4，所以x4项的系数为C4824＝1120.
8．(2010广东惠州)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的()
A．第9项 B．第10项
C．第19项 D．第20项
[答案] D
[解析] ∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展开式中含x4项的系数是C4511＋C4612＋C4713＝5＋15＋35＝55，由3n－5＝55得n＝20，故选D.
9．若n为正奇数，则7n＋C1n7n－1＋C2n7n－2＋…＋Cn－1n7被9除所得的余数是()
A．0 B．2
C．7 D．8
[答案] C
[解析] 原式＝(7＋1)n－Cnn＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C1n9n－1＋C2n9n－2－…＋Cn－1n9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7.
10．(2010江西理，6)(2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为()
A．－1 B．0
C．1 D．2
[答案] B
[解析] (2－x)8的通项式为Tr＋1＝Cr828－r(－x)r＝(－1)r28－rCr8xr2，则x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－1)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，故选B.
二、填空题
11．若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010＋a2011x2011(xR)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)＝________.(用数字作答)
[答案] 2009
[解析] 令x＝0，则a0＝1.
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2010＋a2011＝(1－2)2011＝－1.
(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)
＝2010a0＋(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2011)
＝2010－1＝2009.
12．(2008北京11)若x2＋1x3n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．
[答案] 5 10
[解析] 令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝Cr5(x2)5－r1x3r＝Cr5x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10.
13．(2010全国Ⅱ理，14)若x－ax9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.
[答案] 1
[解析] 由Tr＋1＝Cr9x9－r－axr＝(－a)rCr9x9－2r得
9－2r＝3，得r＝3，x3的系数为(－a)3C39＝－84，
解得a＝1.
14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的01三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．
[答案] 2n－1 32
[解析] 用不完全归纳法，猜想得出．
三、解答题
15．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0.求：
(1)a8＋a7＋…＋a1；
(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.
[解析] 令x＝0，得a0＝1.
(1)令x＝1得
(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①
a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255.
(2)令x＝－1得
(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.②
①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，
a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝12(28＋48)＝32 896.
16．设(1－2x)2010＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010(xR)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2010的值．
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2009的值．
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2010|的值．
[分析] 分析题意令x＝1求(1)式的值
令x＝－1求(2)式的值令x＝－1求(3)式的值
[解析] (1)令x＝1，得：
a0＋a1＋a2＋…＋a2010＝(－1)2010＝1①
(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2010＝32010②
与①式联立，①－②得：
2(a1＋a3＋…＋a2009)＝1－32010，
a1＋a3＋a5＋…＋a2009＝1－320102.
(3)∵Tr＋1＝Cr201012010－r(－2x)r
＝(－1)rCr2010(2x)r，
a2k－10(kN*)，a2k0(kN*)．
|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2010|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010，
所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010＝32010.
17．证明：(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n.
[证明] ∵(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n，
(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)＝(1＋x)2n，
而Cn2n是(1＋x)2n的展开式中xn的系数，
由多项式的恒等定理得
C0nCnn＋C1nCn－1n＋…＋CnnC0n＝Cn2n.
∵Cmn＝Cn－mn(0n)，
(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n.
18．求(1＋x－2x2)5展开式中含x4的项．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①n＝5；②三项的和与差．
解答本题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法则，由组合数的定义求解．
[解析] 方法一：(1＋x－2x2)5＝[1＋(x－2x2)]5，
则Tr＋1＝Cr5(x－2x2)r(x－2x2)r展开式中第k＋1项为Tk＋1＝Ckrxr－k(－2x2)k＝(－2)kCkrxx＋k.
令r＋k＝4，则k＝4－r.
∵0r,05，且k、rN，
r＝2k＝2或r＝3k＝1或r＝4k＝0.
展开式中含x4的项为[C25(－2)2C22＋C35(－2)C13＋C45(－2)0C04]x4＝－15x4.
方法二：(1＋x－2x2)5＝(1－x)5(1＋2x)5，
则展开式中含x4的项为
C05C45(2x)4＋C15(－x)C35(2x)3＋C25(－x)2C25(2x)2＋C35(－x)3C15(2x)＋C45(－x)4C05(2x)0＝－15x4.