选修2-3 3.1 第2课时 回归分析的基本思想及其初步应用2
一、选择题
1．有下列说法：
①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线贴近这些样本点的数学方法．
②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量是否具有线性关系．
③通过回归方程y^＝b^x＋a^及其回归系数b^，可以估计变量的取值和变化趋势．
④因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验．
其中正确命题的个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
2．有下列说法：
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．
②用相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好．
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．
其中正确命题的个数是()
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
3．已知两个变量x和y之间具有线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归的方法求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都为s，对变量y的观测数据的平均数都是t，则下列说法正确的是()
A．l1与l2可能有交点(s，t)
B．l1与l2相交，但交点一定不是(s，t)
C．l1与l2必定平行
D．l1与l2必定重合
[答案] A
[解析] 由于回归直线y＝b^x＋a^恒过(x，y)点，又两人对变量x的观测数据的平均数都为s，对变量y的观测数据的平均数都为t，所以l1和l2恒过点(s，t)．
二、填空题
4．某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的线性相关关系，现取8组观测值，计算得i＝18xi＝52，i＝18yi＝228，i＝18x2i＝478，i＝18xiyi＝1849，则y对x的回归直线方程是__________．(精确到小数点后两位数)
[答案] y^＝11.47＋2.62x
[解析] 根据给出的数据可先求x＝18i＝18xi＝132，
y＝18i＝18yi＝572，然后代入公式b^＝i＝18xiyi－8x yi＝18x2i－8x2
＝1849－8132572478－816942.62，
从而a^＝y－b^x572－2.62132＝11.47.
所以回归直线方程为y^＝11.47＋2.62x.
5．对于回归方程y^＝4.75x＋257，当x＝28时，y^的估计值是________．
[答案] 390
6．已知两个变量x和y线性相关，5次试验的观测数据如下：
x 100 120 140 160 180
y 45 54 62 75 92
那么变量y关于x的回归方程是________．
[答案] y^＝0.575x－14.9
三、解答题
7．(2010山东威海3月模拟)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x(个) 2 3 4 5
加工的时间y(小时) 2.5 3 4 4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
(注：b^＝i＝1nxiyi－n x yi＝1nx2i－n x2，a^＝y－b^x)
[解析] (1)散点图如下图．
(2)由表中数据得i＝14xiyi＝52.5，
x＝3.5，y＝3.5，i＝14x2i＝54，
b^＝…＝0.7，a^＝…＝1.05.
y^＝0.7x＋1.05.回归直线如图中所示．
(3)将x＝10代入回归直线方程，得
y＝0.710＋1.05＝8.05(小时)，
预测加工10个零件需要8.05小时．
8．有10名同学的高一数学成绩x和高二数学成绩y如下表所示.
高一成绩x 74 71 72 68 76
高二成绩y 76 75 71 70 76
高一成绩x 73 67 70 65 74
高二成绩y 79 65 77 62 72
(1)y与x是否具有相关关系？
(2)如果y与x具有相关关系，求回归直线方程．
[解析] (1)由已知表格中所给数据得，x＝71，
y＝72.3，i＝110xi＝710，i＝110yi＝723，i＝110xiyi＝51467，
i＝110x2i＝50520，
于是r＝i＝110xiyi－10x y(i＝110x2i－10x2)(i＝110y2i－10y2)
＝51467－71723(50520－10712)(52541－1072.32)
0.7802972，
∵r＞0.75，y与x具有很强的线性相关关系．
(2)lxx＝i＝110x2i－110(i＝110xi)2＝50520－1107102＝110，
lxy＝i＝110xiyi－110i＝110xii＝110yi＝51467－110710723＝134，
b^＝1341101.22，a^＝y－b^x－14.32，
所求回归直线方程为y^＝1.22x－14.32.
9．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下表.
零件个数x(个) 10 20 30 40 50
加工时间y(分) 62 68 75 81 89
零件个数x(个) 60 70 80 90 100
加工时间y(分) 95 102 108 115 122
(1)y与x是否具有线性相关关系？
(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程．
[解析] (1)x＝55，y＝91.7，i＝110x2i＝38500，
i＝110y2i＝87777，i＝110xiyi＝55950，
r＝55950－105591.7(38500－10552)(87777－1091.72)
0.9998.
∵r＞0.75，y与x具有显著线性相关关系．
(2)由已知数据得，b^＝55950－105591.738500－105520.668，
a^＝y－b^x＝91.7－0.6685554.96，
所求回归直线方程为y^＝0.668x＋54.96.
10．某农场对单位面积化肥用量x(kg)和水稻相应产量y(kg)的关系作了统计，得到数据如下：
x 15 20 25 30 35 40 45
y 330 345 365 405 445 450 455
如果x与y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程，并预测当单位面积化肥用量为32kg时水稻的产量大约是多少？(精确到0.01kg)
[解析] 列表如下：
序号 x y x2 xy
1 15 330 225 4950
2 20 345 400 6900
3 25 365 625 9125
4 30 405 900 12150
5 35 445 1225 15575
6 40 450 1600 18000
7 45 455 2025 20475
210 2795 7000 87175
x＝17210＝30
y＝172795399.3
b^＝87175－730399.37000－73024.746
a^＝399.3－4.74630＝256.92
y对x的回归直线方程为y^＝256.92＋4.746x
当x＝32时，y^＝256.92＋4.74632408.79
答：回归直线方程为y^＝256.92＋4.746x，当单位面积化肥用量为32kg时，水稻的产量约为408.79kg.