选修2-23.2.2复数代数形式的乘除运算
一、选择题
1.(2010安徽理,1)i是虚数单位,i3+3i=()
A.14-312i
B.14+312i
C.12+36i
D.12-36i
[答案] B
[解析] i3+3i=i(3-3i)(3+3i)(3-3i)
=3+3i12=14+312i,故选B.
2.在复平面内,复数z=i(1+2i)对应的点位于()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
[答案] B
[解析] 考查复数的运算.
z=-2+i,对应点位于第二象限,
选B.
3.已知z是纯虚数,z+21-i是实数,那么z等于()
A.2i
B.i
C.-i
D.-2i
[答案] D
[解析] 本小题主要考查复数的运算.
设z=bi(bR),则z+21-i=2+bi1-i=2-b2+b+22i,
b+22=0,b=-2,
z=-2i,故选D.
4.i是虚数单位,若1+7i2-i=a+bi(a,bR),则乘积ab的值是()
A.-15
B.-3
C.3
D.15
[答案] B
[解析] 本题考查复数的概念及其简单运算.
1+7i2-i=(1+7i)(2+i)(2-i)(2+i)=-5+15i5=-1+3i=a+bi,
a=-1,b=3,ab=-3.
5.设z是复数,a(z)表示满足zn=1的最小正整数n,则对虚数单位i,a(i)=()
A.8
B.6
C.4
D.2
[答案] C
[解析] 考查阅读理解能力和复数的概念与运算.
∵a(z)表示使zn=1的最小正整数n.
又使in=1成立的最小正整数n=4,a(i)=4.
6.已知复数z的实部为-1,虚部为2,则5iz=()
A.2-i
B.2+i
C.-2-i
D.-2+i
[答案] A
[解析] 考查复数的运算.
z=-1+2i,则5i-1+2i=5i(-1-2i)(-1+2i)(-1-2i)
=10-5i5=2-i.
7.设a,bR且b0,若复数(a+bi)3是实数,则()
A.b2=3a2
B.a2=3b2
C.b2=9a2
D.a2=9b2
[答案] A
[解析] 本小题主要考查复数的运算.
(a+bi)3=a3+3a2bi-3ab2-b3i
=a3-3ab2+(3a2b-b3)i,
3a2b-b3=0,3a2=b2,故选A.
8.设z的共轭复数是z,若z+z=4,zz=8,则zz等于()
A.i
B.-i
C.1
D.i
[答案] D
[解析] 本题主要考查复数的运算.
设z=a+bi(a,bR),则z=a-bi,
由z+z=4,zz=8得2a=4a2+b2=8a=2b=2
z=2+2i,z=2-2i或z=2-2i,z=2+2i,zz=2-2i2+2i=-i或zz=2+2i2-2i=i.zz=i,故选D.
9.(2010新课标全国理,2)已知复数z=3+i(1-3i)2,z-是z的共轭复数,则zz-=()
A.14
B.12
C.1
D.2
[答案] A
[解析] ∵z=3+i(1-3i)2=3+i1-23i-3=3+i-2-23i
=3+i-2(1+3i)=(3+i)(1-3i)-2(1+3)
=3-3i+i+3-8=23-2i-8=3-i-4,z-=3+i-4,
zz-=|z|2=14,故选A.
10.定义运算a bc d=ad-bc,则符合条件1 -1zzi=4+2i的复数z为()
A.3-i
B.1+3i
C.3+i
D.1-3i
[答案] A
[解析] 由定义得1 -1zzi=zi+z=z(1+i)=4+2i
z=4+2i1+i=3-i.
故应选A.
二、填空题
11.1+i1-i表示为a+bi(a,bR),则a+b=________.
[答案] 1
[解析] 本小题考查复数的除法运算.
∵1+i1-i=(1+i)22=i,a=0,b=1.
因此a+b=1.
12.若复数z满足z=i(2-z)(i是虚数单位),则z=________.
[答案] 1+i
[解析] 本题主要考查复数的运算.
∵z=i(2-z),z=2i1+i=1+i.
13.关于x的不等式mx2-nx+p0(m、n、pR)的解集为(-1,2),则复数m+pi所对应的点位于原复平面内的第________象限.
[答案] 二
[解析] ∵mx2-nx+p0(m、n、pR)的解集为(-1,2),m0(-1)+2=nm(-1)2=pm,即m0,p0.
故复数m+pi所对应的点位于复平面内的第二象限.
14.若z1=a+2i,z2=3-4i,且z1z2为纯虚数,则实数a的值为________.
[答案] 83
[解析] 设z1z2=bi(bR且b0),z1=bi(z2),即a+2i=bi(3-4i)=4b+3bi.a=4b2=3ba=83.
三、解答题
15.计算:
(1)-23+i1+23i+21+i2000+1+i3-i;
(2)1+in+i2n+…+i2000n(nN).
[解析] (1)原式=-23+i-i(-23+i)+(-i)100+1+i3-i
=i+1+15+25i=65+75i.
(2)当n=4k(kN)时,原式=1+1+…+1 2001=2001.
当n4k(kN)时,
原式=1-i2001n1-in=1-i2000nin1-in=1-in1-in=1.
16.已知复数z=(-1+3i)(1-i)-(1+3i)i,=z+ai(aR),当2时,求a的取值范围.
[解析] z=(-1+3i)(1-i)-(1+3i)i
=(2+4i)-(1+3i)i=1+ii=-i(1+i)1=1-i
∵=z+ai=1-i+ai=1+(a-1)i
z=1+(a-1)i1-i=[1+(a-1)i](1+i)2=2-a+ai2
z=(2-a)2+a222
a2-2a-20,1-31+3
故a的取值范围是[1-3,1+3].
17.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,cR).
(1)求b,c的值;
(2)试证明1-i也是方程的根.
[解析] (1)∵1+i是方程x2+bx+c=0的根
(1+i)2+b(1+i)+c=0
即b+c+(2+b)i=0
b+c=02+b=0解得b=-2c=2.
(2)由(1)知方程为x2-2x+2=0
把1-i代入方程左边得
左边=(1-i)2-2(1-i)+2=0=右边,即方程成立
1-i也是方程的根.
18.已知=z+i(zC),z-2z+2是纯虚数,又|+1|2+|-1|2=16,求.
[解析] 设z=a+bi(a,bR)
z-2z+2=(a-2)+bi(a+2)+bi=(a2+b2-4)+4bi(a+2)2+b2
由z-2z+2是纯虚数得a2+b2=4b0 ①
|+1|2+|-1|2=|z+i+1|2+|z+i-1|2
=|a+bi+i+1|2+|a+bi+i-1|2
=|(a+1)+(b+1)i|2+|(a-1)2+(b+1)i|2
=(a+1)2+(b+1)2+(a-1)2+(b+1)2
=2(a2+b2)+4+4b=8+4+4b=12+4b=16,
b=1,
将b=1代入①得a=3.
z=3+i,=3+2i.