选修2-21.3.1函数的单调性与导数
一、选择题
1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()
A．b2－4ac0 B．b0，c0
C．b＝0，c D．b2－3ac0
[答案] D
[解析] ∵a0，f(x)为增函数，
f(x)＝3ax2＋2bx＋c0恒成立，
＝(2b)2－43ac＝4b2－12ac0，b2－3ac0.
2．(2009广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()
A．(－，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋)
[答案] D
[解析] 考查导数的简单应用．
f(x)＝(x－3)ex＋(x－3)(ex)＝(x－2)ex，
令f(x)0，解得x2，故选D.
3．已知函数y＝f(x)(xR)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()
A．[－1，＋) B．(－，2]
C．(－，－1)和(1,2) D．[2，＋)
[答案] B
[解析] 令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－，2]．
4．已知函数y＝xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()
[答案] C
[解析] 当01时xf(x)0
f(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数
当x1时xf(x)0，f(x)0，故y＝f(x)在(1，＋)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.
5．函数y＝xsinx＋cosx，x(－)的单调增区间是()
A.－，－2和0，2
B.－2，0和0，2
C.－，－2，
D.－2，0和
[答案] A
[解析] y＝xcosx，当－x2时，
cosx0，y＝xcosx0，
当02时，cosx0，y＝xcosx0.
6．下列命题成立的是()
A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0
B．若在(a，b)内对任何x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)上是增函数
C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f(x)必存在
D．若f(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数
[答案] B
[解析] 若f(x)在(a，b)内是增函数，则f(x)0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．
7．(2007福建理，11)已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时()
A．f(x)0，g(x) B．f(x)0，g(x)0
C．f(x)0，g(x) D．f(x)0，g(x)0
[答案] B
[解析] f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，x0时，f(x)0，g(x)0.
8．f(x)是定义在(0，＋)上的非负可导函数，且满足xf(x)＋f(x)0，对任意正数a、b，若ab，则必有()
A．af(a)f(b) B．bf(b)f(a)
C．af(b)bf(a) D．bf(a)af(b)
[答案] C
[解析] ∵xf(x)＋f(x)0，且x0，f(x)0，
f(x)－f(x)x，即f(x)在(0，＋)上是减函数，
又0＜a＜b，af(b)bf(a)．
9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f(x)0，则必有()
A．f(0)＋f(2)2f(1) B．f(0)＋f(2)2f(1)
C．f(0)＋f(2)2f(1) D．f(0)＋f(2)2f(1)
[答案] C
[解析] 由(x－1)f(x)0得f(x)在[1，＋)上单调递增，在(－，1]上单调递减或f(x)恒为常数，
故f(0)＋f(2)2f(1)．故应选C.
10．(2010江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S(t)的图像大致为
()
[答案] A
[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.
二、填空题
11．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．
[答案] b－1或b2
[解析] 若y＝x2＋2bx＋b＋20恒成立，则＝4b2－4(b＋2)0，－12，
由题意b＜－1或b＞2.
12．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋)内恒成立，实数a的取值范围为________．
[答案] a1
[解析] 由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋)内恒成立．
设g(x)＝1＋lnxx，则g(x)＝－lnxx2＜0 (x＞1)，
g(x)＝1＋lnxx在区间(1，＋)内单调递减，
g(x)＜g(1)，
∵g(1)＝1，
1＋lnxx＜1在区间(1，＋)内恒成立，
a1.
13．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．
[答案] (－，－1)
[解析] 函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋)(－，－1)，
令f(x)＝x2－x－2，f(x)＝2x－10，得x12，
函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－，－1)．
14．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．
[答案] [3，＋)
[解析] y＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax0在区间(0,2)内恒成立，
即a32x在区间(0,2)上恒成立，a3.
三、解答题
15．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a、b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
[解析] (1)求导得f(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f(1)＝－12，
即1－3a＋3b＝－113－6a＋3b＝－12，
解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得
f(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)
＝3(x＋1)(x－3)．
令f(x)0，解得x－1或x3；又令f(x)0，解得－13.
所以当x(－，－1)时，f(x)是增函数；
当x(3，＋)时，f(x)也是增函数；
当x(－1,3)时，f(x)是减函数．
16．求证：方程x－12sinx＝0只有一个根x＝0.
[证明] 设f(x)＝x－12sinx，x(－，＋)，
则f(x)＝1－12cosx＞0，
f(x)在(－，＋)上是单调递增函数．
而当x＝0时，f(x)＝0，
方程x－12sinx＝0有唯一的根x＝0.
17．已知函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．
[分析] 可先由函数y＝ax与y＝－bx的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．
[解析] ∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，a＜0，b＜0.
由y＝ax3＋bx2＋5得y＝3ax2＋2bx.
令y＞0，得3ax2＋2bx＞0，－2b3a＜x＜0.
当x－2b3a，0时，函数为增函数．
令y＜0，即3ax2＋2bx＜0，
x＜－2b3a，或x＞0.
在－，－2b3a，(0，＋)上时，函数为减函数．
18．(2010新课标全国文，21)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；
(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围．
[解析] (1)a＝12时，f(x)＝x(ex－1)－12x2，
f(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x(－，－1)时，f(x)0；当x(－1,0)时，f(x)0；当x(0，＋)时，f(x)0.
故f(x)在(－，－1]，[0，＋)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．
令g(x)＝ex－1－ax，则g(x)＝ex－a.
若a1，则当x(0，＋)时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x0时g(x)0，即f(x)0.
当a1，则当x(0，lna)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x(0，lna)时g(x)0，即f(x)0.
综合得a的取值范围为(－，1]．