数学归纳法及其应用举例
一、选择题(共49题，题分合计245分)
1.用数学归纳法证明:1+ + +…+ 1)时,由n=k(k1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是
A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+1
2.球面上有n个大圆,其中任何三个都不相交于同一点,设球面被这n个大圆所分
成的部分为f(n),则下列猜想:①f(n)=n,②f(n)=f(n-1)+2n,③f(n)=n2-n+2
中,正确的是
A.①与② B.①与③ C.②与③ D.只有③
3.某个命题与自然数m有关,若m=k(kN)时该命题成立,那么可以推得m=k+1时该命题成立,现已知当m=5时,该命题不成立,那么可推得
A.当m=6时该命题不成立 B.当m=6时该命题成立
C.当m=4时该命题不成立 D.当m=4时该命题成立
4.设f(n)= (nN),那么f(n+1)-f(n)等于
A. B. C. + D. -
5.用数学归纳法证明1+a+a2+…+ = (nN,a1)中,在验证n=1时,左式应为
A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
6.用数学归纳法证明5n-2n能被3整除的第二步中,n=k+1时,为了使用归纳假设,应把5 k+1 -2 k+1变形为
A.(5k-2 k)+45 k -2 k B.5(5 k -2 k)+32 k C.(5 k -2 k)(5-2) D.2(5 k -2 k)-35 k
7.平面内原有k条直线,它们把平面划分成f(k)个区域,则增加第k+1条直线后,这k+1条直线把平面分成的区域至多增加
A.k个 B.k+1个 C.f(k)个 D.f(k)+(k+1)个
8.已知凸k边形的对角线条数为f(k)(k3)条,则凸k+1边形的对角线条数为
A.f(k)+k B.f(k)+k+1 C.f(k)+k-1 D.f(k)+k-2
9.用数学归纳法证明(n+1)+(n+2)+…+(n+n)= 的第二步中,n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差等于
A.2k+2 B.4k+3 C.3k+2 D.k+1
10.下面四个判断中,正确的是
A.式子1+k+k2+…+kn(nN),当n=1时恒为1
B.式子1+k+k2+…+kn-1(nN),当n=1时恒为1+k
C.式子 …+ (nN),当n=1时恒为
D.设f(x)= (nN),则f(k+1)=f(k)+
11.用数字归纳法证1+x+x2+…+xn+1= (x1),在验证n=1成立时,左边所得的代数式是
A.1 B.1+x C.1+x+x2 D.1+x+x2+x3
12.用数字归纳法证明1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式是
A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+4
13.用数学归纳法证明当n是非负数时,34n+2+52n+1能被14整除的第二步中,为了使用归纳假设应将34k+6+52k+3变形为
A.34k+281+52k+125 B.34k+1243+52k125 C.25(34k+2+52k+1)+5634k+2 D.34k+49+52k+25
14.用数学归纳法证明 + + +……+ = (nN)时,从n=k到n=k+1,等式左边需增添的项是
A. B. C. D.
15.利用数学归纳法证明不等式 ,(n2,nN)的过程中,由n=k变到n=k+1时,左边增加了
A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项
16.用数学归纳法证明5n-2n能被3整除的第二步中，n=k＋1时，为了使用假设，应将5k+1-2k+1变形为
A.(5k-2k)＋45k-2k B.5(5k-2k)＋32k C.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-35k
17.平面内原有k条直线,它们的交点个数记为f(k),则增加一条直线后,它们的交点个数最多为
A.f(k)+1 B.f(k)+k C.f(k)+k+1 D.kf(k)
18.已知一个命题P(k),k=2n(nN),若n=1,2,…,1000时,P(k)成立,且当n=1000+1时它也成立,下列判断中,正确的是
A.P(k)对k=2004成立 B.P(k)对每一个自然数k成立
C.P(k)对每一个正偶数k成立 D.P(k)对某些偶数可能不成立
19.用数学归纳法证明: ,从k到k+1需在不等式两边加上
A. B. C. D.
20.设 ,则f(2k)变形到f(2k+1)需增添项数为
A.2k+1项 B.2k项 C.2项 D.1项
21.欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n，总有2n＞n3,n0为验证的第一个值，则
A.n0=1 B.n0为大于1小于10的某个整数 C.n0 D.n0=2
22.某同学回答用数字归纳法证明 n+1(nN)的过程如下：证明：(1)当n=1时,显然命题是正确的;(2)假设n=k时有 k+1那么当n=k+1时, =(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的,由(1)、(2)可知对于(nN),命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于
A.当n=1时,验证过程不具体 B.归纳假设的写法不正确
C.从k到k+1的推理不严密 D.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设
23.平面上有k(k3)条直线,其中有k-1条直线互相平行,剩下一条与它们不平行,则这k条直线将平面分成区域的个数为
A.k个 B.k+2个 C.2k个 D.2k+2个
24.已知凸k边形的对角线条数为f(k)(k3)，则凸k＋1边形的对角线条数为
A.f(k)＋k B.f(k)＋k＋1 C.f(k)＋k-1 D.f(k)＋k-2
25.平面内原有k条直线，它们将平面分成f(k)个区域，则增加第k＋1条直线后，这k＋1条直线将平面分成的区域最多会增加
A.k个 B.k＋1个 C.f(k)个 D.f(k)＋1个
26.同一平面内有n个圆,其中每两个圆都有两个不同交点,并且三个圆不过同一点,则这n个圆把平面分成
A.2n部分 B.n2部分 C.2n－2部分 D.n2－n＋2部分
27.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，这n个圆把平面分成f(n)个部分，则满足上述条件的n＋1个圆把平面分成的部分f(n＋1)与f(n)的关系是
A.f(n＋1)=f(n)＋n B.f(n＋1)=f(n)＋2n C.f(n＋1)=f(n)＋n＋1 D.f(n＋1)=f(n)＋n＋2
28.用数学归纳法证明不等式 成立时， 应取的第一个值为
A.1 B.3 C.4 D.5
29.若 ，则 等于
A. B.
C. D.
30.设凸n边形的内角和为f (n)，则f (n+1) - f (n) 等于
A. B. C. D.
31.用数学归纳法证明不等式 成立,则n的第一个值应取
A.7 B.8 C.9 D.10
32. 等于
A. B. C. D.
33.已知ab是不相等的正数,若 ,则b的取值范围是
A.02 B.02 C.b D.b2
34.利用数学归纳法证明对任意偶数n,an-bn能被a+b整除时,其第二步论证,应该是
A.假设n=k时命题成立,再证n=k+1时命题也成立
B.假设n=2k时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立
C.假设n=k时命题成立,再证n=k+2时命题也成立
D.假设n=2k时命题成立,再证n=2(k+1)时命题也成立
35.用数学归纳法证明42n-1+3n+1(nN)能被13整除的第二步中,当n=k+1时为了使用假设,对42k+1+3k+2变形正确的是
A.16(42k-1+3k+1)-133k+1 B.442k+93k
C.(42k-1+3k+1)+1542k-1+23k+1 D.3(42k-1+3k+1)-1342k-1
36.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)(nN)时,从 两边同乘以一个代数式,它是
A.2k+2 B.(2k+1)(2k+2) C. D.
37.用数学归纳法证明某命题时,左式为 +cos+cos3+…+cos(2n-1)(kZ,nN),在验证n=1时,左边所得的代数式为
A. B. +cos C. +cos+cos 3 D. +cos+cos 3+cos 5
38.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)时,第二步n=k+1时的左边应是n=k时的左边乘以
A.(k+1+k+1) B.(k+1+k)(k+1+k+1) C. D.
39.设Sk= + + +……+ ,则Sk+1为
A. B.
C. D.
40.用数字归纳法证明某命题时,左式为1- +…+ ,从n=k到n=k+1,应将左边加上
A. B. C. D.
41.用数学归纳法证明当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除时,第二步应是
A.假设n=k(kN)时命题成立,推得n=k+1时命题成立
B.假设n=2k+1(kN)时命题成立,推得n=2k+3时命题成立
C.假设k=2k-1(kN)时命题成立,推得n=2k+1时命题成立
D.假设nk(k1,kN)时命题成立,推得n=k+2时命题成立
42.设p(k):1+ (k N),则p(k+1)为
A.
B.
C.
D.上述均不正确
43.k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱有对角面的个数为
A.2f(k) B.k－1＋f(k) C.f(k)＋k D.f(k)＋2
44.已知 ，则 等于
A. B.
C. D.
45.用数学归纳法证明
，在验证n=1等式成立时，左边计算所得的项是
A. B. C. D.
46.用数学归纳法证明某不等式，其中证 时不等式成立的关键一步是：
，括号中应填的式子是
A. B. C. D.
47.对于不等式 ，某人的证明过程如下： 当 时， 不等式成立。 假设 时不等式成立，即 ，则 时，
。 当 时，不等式成立。上述证法
A.过程全都正确 B. 验得不正确
C.归纳假设不正确 D.从 到 的推理不正确
48.某个命题与自然数n有关,如果当n=k(kN)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得
A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立
C.当n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立
49.利用数学归纳法证明不等式 时,由假设n=k时命题成立到当n=k+1时,正确的步骤是
A.
B.
C.
D.
二、填空题(共9题，题分合计36分)
1.用数学归纳法证明:当nN,1+2+22+23+…+25n-1是31倍数时,当n=1时,原式为
___________________.从n=k到n=k+1时需增添的项是_______________________.
2.用数学归纳法证明1＋ ＋ ＋…＋ ＜n(n＞1)，在验证n＝2成立时，左式是____________________.
3.不等式 ＋ ＋…＋ ＞ 中，当n＝kn＝k＋1时，不等式左边增加的项是___________________，少掉的项是________________.
4.平面上原有k个圆，它们的交点个数记为f(k)，则增加第k＋1个圆后，交点个数最多增加_________个.
5.用数学归纳法证明 ，从 到 一步时，等式两边应增添的式子是____________________.
6.用数学归纳法证明 (a,b是非负实数,nN+)时,假设n=k
时不等式 (*)成立,再推证n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式
__________________.
7.用数学归纳法证明 能被14整除时，当 时，对于 应变形为________________________.
8.用数学归纳法证明 时，第一步验证为_______________________________________________________________________________.
9.用数学归纳法证明 时，当 时，应证明的等式为__________________.
三、解答题(共36题，题分合计362分)
1.已知数列{an}的前n项和为Sn，是否存在a,b,c使得an=an2+bn+c,且满足a1=1，3Sn=(n+2)an对一切自然数n都成立?试证明你的结论.
2.平面上有几个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆都不相交于同一点,求证这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2个部分.
3.设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并对一切自然数n有,
(1)写出数列前3项;
(2)求数列{an}的通项公式(予以证明).
4.已知数列 计算S1 、S2、S3由此推测Sn 的公式，然后用数学归纳法证明.
5.求最大的正整数m,使得f(n)=(2n+7)3n+9对任意的正整数n,都能被m整除,并证明你的结论.
6.当nN时,Sn=1- + - +…+ - ,Tn= + +…+ .对于相同的n,试比较Sn与Tn的大小关系,并证明你的结论.
7.已知函数f(n)= -2 +2(n4)
(1)试求反函数f-1(n),并指出其定义域;
(2)如果数列{an}(an0)中a1=2,前n项和为Sn(nN)且Sn= f-1(Sn-1),求{an}的
通项公式;
(3)求 的值.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn，是否存在a,b,c使得an=an2+bn+c,且满足a1=1，3Sn=(n+2)an对一切自然数n都成立?试证明你的结论.
9.已知:x-1且x0,nN,n2求证:(1+x)n1+nx.
10.求证:二项式x2n-y2n(nN)能被x+y整除.
11.是否存在常数a，b使等式
1n+2(n-1)+3(n-2)+…+(n-2)3+(n-1)2+n1= n(n+a)(n+b)对一切自然数N都成立，并证明你的结论.
12.已知x11,且xn+1= (n=1,2,3……).试证:数列{xn}或者对任意的自然数n都满足xnxn+1,或者对任意的自然数n都满足xn+1x.
13.是否存在常数abc,使得等式122+232+……+n(n+1)2= (an2+bn+c)对一切自然数n成立?并证明你的结论.
14.证明不等式:1+ (nN).
15.平面上有n条直线,其中无两条平行也无三条共点
求证:这n条直线
(1)彼此分成n2段;
(2)把平面分成 个部分.
16.用数归纳法证明(3n+1)7n-1是9的倍数 (nN).
17.用数学归纳法证明(x+3)n-1能被（x+2）整除.
18.用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋2 n＝n(2n＋1)( nN) .
19.下列所给条件，写出数列｛an｝的前四项，猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.
已知a1=1，Sn= n2an (n2).
20.下列所给条件，写出数列｛an｝的前四项，猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.
已知a1=1，且an、an+1、2a1成等差数列.
21.对于任意自然数n，n3+11n能被6整除.
22.已知数列｛bn｝是等差数列, , ,
(1)求数列｛bn｝的通项.
(2)设数列｛an｝的通项 (其中 )记Sn是数列｛an｝的前n项和,试比较Sn与 的大小,并证明你的理论.
23.用数学归纳法证明
已知：
24.
25.设 ,是否存在关于n的整式g(n)使 对大于1的一切正整数n都成立?并证明你的结论.
26.平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,
(1)设这n条直线互相分割成f (n) 条线段或射线,猜想f (n) 的表达式并给以证明.
(2)求证:这n条直线把平面分成 个区域.
27.数列｛an｝中, ,设 … .
(1)试求出 的值;
(2)猜想出 ,并用数学归纳法证明.
28.是否存在常数a、b、c使等式
对一切自然数n都成立，并证明结论．
29.在各项都为正数的数列｛an｝中，其前n项和为Sn，且 ( nN)，试由a1，a2，a3的值推测an的计算公式，并证明之.
30.已知f(x)=2x+b，f1 (x)= f [f(x)]，fn (x)= fn-1 [f(x)] (nN，n2)，试求a＜b，x表示的f1 (x)，f2 (x)，f3 (x)的式子，并推测fn (x)以b，x，n表示的式子，证明你的结论．
31.设函数 ,
若数列 满足 ,
求证：当
32.用数学归纳法证明
(nN)
33.用数学归纳法证明|sinnn|sin|.
34.
试比较An与Bn的大小，并说明理由.
35.已知等差数列｛an｝的第2项为8,前10项的和为185.
(1)求数列｛an｝的通项公式.
(2)若从数列｛an｝中依次取出第2项,第4项,第8项,...,第2n项,......按原来顺序排成一个新的数列,求此数列的前n项和Sn.
(3)设Tn= n(an +9),试比较Sn与Tn的大小,并说明理由.
36.数列{an}的通项公式an= ,f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)……(1-an).
(1)求f(1),f(2),f(3),f(4),并猜想f(n)的表达式;
(2)用数字归纳法证明你的结论.
数学归纳法及其应用举例答案
一、选择题(共49题，合计245分)
1. C 2. C 3. C 4. D 5. C 6. B 7. B 8. C 9.B 10.C 11.C 12.C
13.C 14.C 15.D 16.B 17. B 18.D 19.C 20.B 21.C 22.D 23.C 24.C
25.B 26.D 27.B 28.D 29.D 30.C 31.B 32.B 33. B 34.D 35.A 36.D
37.B 38. D 39.C 40.D 41.C 42.C 43. B 44. C 45. B 46.C 47.D
48. C 49.D
二、填空题(共9题，合计36分)
1. 1+2+22+23+24
2.
3.
4. 2k
5.
6.两边同时乘以
7.
8.当 时，左边 ， 右边 不等式 成立
9.
三、解答题(共36题，合计362分)
1.见注释
2.见注释
3.见注释
4.见注释
5. m=36
6.相等
7. (1) (2) (3)1
8.见注释
9.见注释
10见注释
11.见注释
12.见注释
13.见注释
14.见注释
15.见注释
16.见注释
17.见注释
18.见注释
19.
20.
21.见注释
22.见注释
23.见注释
24.见注释
25.见注释
26.见注释
27.见注释
28.令n=1，n=2，n=3，列方程组求得a=3，b=11，c=10．再用数学归纳法证明.
29.a1=1，a2= ，a3= ，推测 并用数学归纳法证明.
30. f1 (x)=22 x+(2+1) b，f2 (x)=23 x+(22+2+1) b，f3 (x)=24 x+(23+22+2+1) b，推测fn (x)= 2n+1 x+(2n+2n-1+…+2+1) b
31.见注释
32.见注释
33.见注释
34.见注释
35.见注释
36. (1)f(1)= ,f(2)= ,f(3)= ,f(4)= ,故猜想f(n)=